Question

已知線段AB的端點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，2），端點(diǎn)A在圓C：（x+1）²+y²=4運(yùn)動(dòng)．
①求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程．
②過B點(diǎn)的直線l與圓C有兩個(gè)交點(diǎn)E、D，當(dāng)CE⊥CD時(shí)，求l的斜率．

Answer 1

分析：（1）設(shè)線段AB中點(diǎn)M（x，y），A（x₁，y₁），由題意知：

x= x1+1 2 y= y1+2 2

，故

x1=2x-1 y1=2y-2

，由點(diǎn)A在圓（x+1）²+y²=4上運(yùn)動(dòng)，能求出點(diǎn)M的軌跡方程．
（2）設(shè)直線l的斜率為k，則直線l的方程為：kx-y-k+2=0，圓C：（x+1）²+y²=4的圓心C（-1，0），半徑r=2，由CE⊥CD，知△CED為等腰直角三角形．由圓C的半徑為2，知點(diǎn)C到直線l的距離為

2

，由此能求出直線l的斜率．

解答：解：（1）設(shè)線段AB中點(diǎn)M（x，y），A（x₁，y₁），
由題意知：

x= x1+1 2 y= y1+2 2

，∴

x1=2x-1 y1=2y-2

，
∵點(diǎn)A在圓（x+1）²+y²=4上運(yùn)動(dòng)，
∴（2x-1+1）²+（2y-2）²=4，
整理，得x²+（y-1）²=1，
所以，點(diǎn)M的軌跡方程是：x²+（y-1）²=1．
（2）設(shè)直線l的斜率為k，則直線l的方程為：
y-2=k（x-1），即kx-y-k+2=0，
圓C：（x+1）²+y²=4的圓心C（-1，0），半徑r=2，
∵CE⊥CD，
∴△CED為等腰直角三角形．
∵圓C的半徑為2，
∴點(diǎn)C到直線l的距離為

2

，
∴

|-k-0-k+2|

k2+1

=

2

，
解得k=2±

3

，
∴直線l的斜率為2+

3

或2-

3

．

點(diǎn)評：本題考查線段的中點(diǎn)的軌跡方程的求法，考查直線的斜率的求法，具體涉及到圓的簡單性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離公式等基本知識點(diǎn)，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．