Question

【題目】已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)）有兩個極值點，.

（1）求的范圍；

（2）求證：

Answer 1

【答案】（1）的范圍為，（2）證明見詳解

【解析】

（1）求出，設(shè)，通過的導函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)的最小值，最后分兩種情況討論即可

（2）構(gòu)造函數(shù)，先證明在上恒成立，即得，然后利用在上單調(diào)遞增即可證明.

（1）由得

設(shè)，則

令得

當時，單調(diào)遞減

當時，單調(diào)遞增

所以

當時，，所以函數(shù)在R上單調(diào)遞增，無極值點

當時，，且當時，

時，

所以當時有兩個零點，

不妨設(shè)，則有

綜上：當有兩個極值點，時，的范圍為

（2）證明：由（1）可得，是的兩個零點

函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

可設(shè)

構(gòu)造函數(shù)

則有

所以在上單調(diào)遞增

因為，所以在上恒成立

所以，即

因為，所以

因為在上單調(diào)遞增，所以

所以