Question

曲線C上任一點(diǎn)到點(diǎn)E（-4，0），F(xiàn)（4，0）的距離的和為12，C與x軸的負(fù)半軸、正半軸依次交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，且位于x軸上方，PA⊥PF．
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

（I）設(shè)G是曲線C上任意一點(diǎn)，依題意，|GE|+|GF|=12．
所以曲線C是以E、F為焦點(diǎn)的橢圓，且橢圓的長半袖a=6，半焦距c=4，
所以短半軸b=

62-42

=

20

，
所以所求的橢圓方程為

x2

36

+

y2

20

=1；
（II）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y）
則

AP

=（x+6，y），

FP

=（x-4，y），由已知得 

x2 36 + y2 20 =1 (x+6)(x-4)+y2=0

則 2x²+9x-18=0，解之得x=-6或x=

3

2

當(dāng)x=-6時(shí)，y=0，與y＞0矛盾，舍去；
當(dāng)x=

3

2

時(shí)，y2=

75

4

，取y=

5 3

2

（舍負(fù)）
∴P(

3

2

，

5 3

2

)．