已知函數(shù)f(x)=
ax+b
1+x2
是定義域為(-1,1)的奇函數(shù),且f(
1
2
)=
2
5
.
(1)求實數(shù)a、b的值;
(2)判斷f(x)在(-1,1)上的單調性,并用定義證明;
(3)解不等式:f(t-1)+f(t)<0.
分析:(1)根據題意可得f(0)=0,又f(
1
2
)=
2
5
,解方程組即可求得a,b;
(2)在(-1,1)上任取兩數(shù)x1,x2,且-1<x1<x2<1,利用作差比較f(x1)與f(x2)的大小,根據單調性的定義即可判斷證明其單調性;
(3)借助函數(shù)的奇偶性、單調性可去掉不等式中的符號“f”,從而變?yōu)榫唧w不等式,注意考慮函數(shù)定義域.
解答:解:(1)由題意可得
f(0)=0
f(
1
2
)=
2
5
,即
b=0
1
2
a+b
1+
1
4
=
2
5
,解得a=1,b=0.
(2)f(x)在(-1,1)上是增函數(shù),下面證明:
在(-1,1)上任取兩數(shù)x1,x2,且-1<x1<x2<1,
則f(x1)-f(x2)=
x1
1+x12
-
x2
1+x22
=
(x1-x2)(1-x1x2)
(1+x12)(1+x22)
,
∵-1<x1<x2<1,∴x1-x20,
故f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),
所以f(x)在(-1,1)上為增函數(shù).
(3)f(x)為奇函數(shù),定義域為(-1,),
由f(t-1)+f(t)<0,得f(t-1)<-f(t)=f(-t),
因為f(x)在(-1,1)上為增函數(shù),
所以-1<t-1<-t<1,解得0<t<
1
2

所以原不等式的解集為{t|0<t<
1
2
}.
點評:本題考查函數(shù)的奇偶性、單調性及其應用,考查抽象不等式的求解,定義是判斷函數(shù)奇偶性、單調性的常用方法,而解抽象不等式則往往運用函數(shù)性質轉化為具體不等式求解.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=a-
12x+1

(1)求證:不論a為何實數(shù)f(x)總是為增函數(shù);
(2)確定a的值,使f(x)為奇函數(shù);
(3)當f(x)為奇函數(shù)時,求f(x)的值域.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)
a-x  ,x≤0
1  ,0<x≤3
(x-5)2-a,x>3
(a>0且a≠1)圖象經過點Q(8,6).
(1)求a的值,并在直線坐標系中畫出函數(shù)f(x)的大致圖象;
(2)求函數(shù)f(t)-9的零點;
(3)設q(t)=f(t+1)-f(t)(t∈R),求函數(shù)q(t)的單調遞增區(qū)間.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=a-
1
2x+1
,若f(x)為奇函數(shù),則a=( 。
A、
1
2
B、2
C、
1
3
D、3

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
a(x-1)x2
,其中a>0.
(I)求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間;
(II)若直線x-y-1=0是曲線y=f(x)的切線,求實數(shù)a的值;
(III)設g(x)=xlnx-x2f(x),求g(x)在區(qū)間[1,e]上的最小值.(其中e為自然對數(shù)的底數(shù))

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=a-
12x-1
,(a∈R)
(1)求f(x)的定義域;
(2)若f(x)為奇函數(shù),求a的值;
(3)考察f(x)在定義域上單調性的情況,并證明你的結論.

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