【題目】如圖,邊長(zhǎng)為的正方形ADEF與梯形ABCD所在的平面互相垂直,其中AB∥CD,AB⊥BC,DC=BC=AB=1,點(diǎn)M在線段EC上.
(Ⅰ)證明:平面BDM⊥平面ADEF;
(Ⅱ)判斷點(diǎn)M的位置,使得三棱錐B﹣CDM的體積為 .
【答案】證明:(Ⅰ)∵DC=BC=1,DC⊥BC,
∴BD=,
∵AD=,AB=2,
∴AD2+BD2=AB2 ,
∴∠ADB=90°,
∴AD⊥BD,
∵平面ADEF⊥平面ABCD,ED⊥AD,平面ADEF∩平面ABCD=AD,
∴ED⊥平面ABCD,
∴BD⊥ED,
∵AD∩DE=D,
∴BD⊥平面ADEF,
∵BD平面BDM,
∴平面BDM⊥平面ADEF;
(Ⅱ)解:如圖,在平面DMC內(nèi),過(guò)M作MN⊥DC,垂足為N,則MN∥ED,
∵ED⊥平面ABCD,
∴MN⊥平面ABCD,
∵VB﹣CDM=VM﹣CDB=,
∴XX1X1XMN=,
∴MN=,
∴=,
∴CM=CE,
∴點(diǎn)M在線段CE的三等分點(diǎn)且靠近C處.
【解析】(Ⅰ)證明:ED⊥平面ABCD,BD⊥平面ADEF,即可證明平面BDM⊥平面ADEF;
(Ⅱ)在平面DMC內(nèi),過(guò)M作MN⊥DC,垂足為N,則MN∥ED,利用三棱錐的體積計(jì)算公式求出MN,可得結(jié)論。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=sinx(sinx+cosx).
(1)求f(x)的最小正周期和最大值;
(2)在銳角三角形ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若f()=1,a=2 , 求三角形ABC面積的最大值.
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【題目】已知橢圓的離心率為,短軸長(zhǎng)為,右焦點(diǎn)為 (1) 求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2) 若直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與橢圓有且僅有一個(gè)公共點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作直線交橢圓于另一點(diǎn) ①證明:當(dāng)直線與直線的斜率,均存在時(shí),.為定值;②求面積的最小值。
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【題目】制定投資計(jì)劃時(shí),不僅要考慮可能獲得的盈利,而且要考慮可能出現(xiàn)的虧損.某投資人打算投資甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目.根據(jù)預(yù)測(cè),甲、乙項(xiàng)目可能的最大盈利率分別為100%和50%,可能的最大虧損分別為30%和10%.投資人計(jì)劃投資金額不超過(guò)10萬(wàn)元,要求確?赡艿馁Y金虧損不超過(guò)1.8萬(wàn)元.問(wèn)投資人對(duì)甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目各投資多少萬(wàn)元,才能使可能的盈利最大?
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【題目】下列三圖中的多邊形均為正多邊形,M,N是所在邊的中點(diǎn),雙曲線均以圖中的F1 , F2為焦點(diǎn),設(shè)圖示①②③中的雙曲線的離心率分別為e1 , e2 , e3、則e1 , e2 , e3的大小關(guān)系為( 。
A.e1>e2>e3
B.e1<e2<e3
C.e2=e3<e1
D.e1=e3>e2
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為,過(guò)且斜率為的直線與交于,兩點(diǎn),.
(1)求的方程;
(2)求過(guò)點(diǎn),且與的準(zhǔn)線相切的圓的方程.
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【題目】如圖所示,在△MNG中,已知NG=4,當(dāng)動(dòng)點(diǎn)M滿足條件sin G-sin N=sin M時(shí),求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程.
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【題目】對(duì)于函數(shù)f(x)與g(x)和區(qū)間D,如果存在x0∈D,使|f(x0)﹣g(x0)|≤1,則稱x0是函數(shù)f(x)與g(x)在區(qū)間D上的“友好點(diǎn)”.現(xiàn)給出兩個(gè)函數(shù):
①f(x)=x2 , g(x)=2x﹣2;② ,g(x)=x+2;
③f(x)=e﹣x , ;④f(x)=lnx,g(x)=x.
則在區(qū)間(0,+∞)上存在唯一“友好點(diǎn)”的是 . (填上所有正確的序號(hào))
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【題目】數(shù)學(xué)家歐拉在1765年發(fā)現(xiàn),任意三角形的外心、重心、垂心位于同一條直線上,這條直線稱為歐拉線已知的頂點(diǎn),若其歐拉線的方程為,則頂點(diǎn)的坐標(biāo)為( )
A. B. C. D.
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