Question

4．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，點(diǎn)E是線段BD的中點(diǎn)，點(diǎn)F是線段PD上的動(dòng)點(diǎn)．
（1）求證：CE⊥BF；
（2）若AB=2，PD=3，當(dāng)三棱錐P-BCF的體積等于$\frac{4}{3}$時(shí)，試判斷點(diǎn)F在邊PD上的位置，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由底面正方形可得CE⊥BD，由PD⊥平面ABCD得PD⊥CE，故而CE⊥平面PBD，所以CE⊥BF；
（2）由PD⊥平面ABCD可得PD⊥BD，設(shè)PF=x，則V_P-BCF=$\frac{1}{3}{S}_{△BPF}•CE$=$\frac{4}{3}$，列方程解出PF．

解答 證明：（1）∵PD⊥平面ABCD，CE?平面ABCD，
∴PD⊥CE．
∵底面ABCD是正方形，點(diǎn)E是BD的中點(diǎn)，
∴CE⊥BD，又BD?平面PBD，PD?平面PBD，BD∩PD=D，
∴CE⊥平面PBD，∵BF?平面PCD，
∴CE⊥BF． 
（2）解：點(diǎn)F為邊PD上靠近D點(diǎn)的三等分點(diǎn)．
說(shuō)明如下：由（Ⅱ）可知，CE⊥平面PBF．
∵PD⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
∴PD⊥BD．
設(shè)PF=x． 由AB=2得BD=2$\sqrt{2}$，CE=$\sqrt{2}$，
∴V_P-BCF=V_C-BPF=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×BD×PF×CE$=$\frac{1}{6}×2\sqrt{2}×\sqrt{2}x$=$\frac{4}{3}$．
解得x=2．∵PD=3，
∴點(diǎn)F為邊PD上靠近D點(diǎn)的三等分點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面垂直的判定與性質(zhì)，棱錐的體積計(jì)算，屬于中檔題．