Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，以后各項由公式a_n=a_n-1+

1

n(n-1)

（n≥2，n∈N^*）給出，則a₄=

7

4

．

Answer 1

分析：將a_n=a_n-1+

1

n(n-1)

，移向并裂項為a_n-a_n-1=

1

n(n-1)

=

1

n-1

-

1

n

，再進行累加求出a₄．

解答：解：∵a_n=a_n-1+

1

n(n-1)

，∴a_n-a_n-1=

1

n(n-1)

=

1

n-1

-

1

n

（n≥2，n∈N^*），
∴a₄=（a₄-a₃）+（a₃-a₂）+（a₂-a₁）+a₁
=（

1

3

-

1

4

）+（

1

2

-

1

3

）+（1-

1

2

）+1
=

7

4

．
故答案為：

7

4

點評：本題考查數(shù)列的遞推公式，裂項累加在數(shù)列中的應(yīng)用．屬于常規(guī)性知識和方法．