Question

若x，y滿足|ax|+|y|≤1（a＞0），設x2+y2+

2

a

x+2y的最小值為f（a），最大值為g（a），如果9[f(a)+1+

1

a2

]＞g(a)，則a的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：由x，y滿足|ax|+|y|≤1（a＞0），畫出圖象：令t=x2+y2+

2

a

x+2y=(x+

1

a

)2+(y+1)2-1-

1

a2

，
設圓：(x+

1

a

)2+(y-1)2=r2．分類討論：①當0＜a＜1時，當取點(

1

a

，0)時，t取得最大值，可得g（a）=

3

a2

．
當圓與直線-ax-y=1相切時，t取得最小值，利用點到直線的距離公式可得r=

|-1+1+1|

a2+1

，于是f（a）=

1

a2+1

-1-

1

a2

．再利用9[f(a)+1+

1

a2

]＞g(a)，即可解得．②當a=1時，經(jīng)驗證滿足條件，因此a=1．③當a＞1時，類比①可得：f（a）=

1

a2+1

-1-

1

a2

；當取點（0，1）時，t取得最大值，g（a）=3．
再利用9[f(a)+1+

1

a2

]＞g(a)，即可解得．

解答：解：由x，y滿足|ax|+|y|≤1（a＞0），畫出圖象：
令t=x2+y2+

2

a

x+2y=(x+

1

a

)2+(y+1)2-1-

1

a2

，
設圓：(x+

1

a

)2+(y-1)2=r2．
①當0＜a＜1時，當取點(

1

a

，0)時，t取得最大值，
∴g（a）=(

2

a

)2+1-1-

1

a2

=

3

a2

．
當圓與直線-ax-y=1相切時，t取得最小值，
r=

|-1+1+1|

a2+1

，
∴f（a）=

1

a2+1

-1-

1

a2

．
∵9[f(a)+1+

1

a2

]＞g(a)，∴

9

a2+1

＞

3

a2

，化為2a²＞1．
又0＜a＜1，解得

2

2

＜a＜1．
②當a=1時，經(jīng)驗證滿足條件，因此a=1．
③當a＞1時，類比①可得：f（a）=

1

a2+1

-1-

1

a2

；
當取點（0，1）時，t取得最大值，
∴g（a）=3．
∵9[f(a)+1+

1

a2

]＞g(a)，∴

9

1+a2

＞3，化為a²＜2．
又a＞1，解得1＜a＜

2

．
綜上可知：a的取值范圍是(

2

2

，

2

)．
故答案為：(

2

2

，

2

)．

點評：本題綜合考查了線性規(guī)劃問題、直線與圓相切問題、分類討論等基礎知識與基本技能方法，考查了分析問題和解決問題的能力，考查了計算能力，屬于難題．