Question

若函數(shù)f（x）滿足對(duì)于任意x∈[n，m]（n＜m）有

n

k

≤f(x)≤km恒成立，則稱函數(shù)f（x）在區(qū)間[n，m]上是“被k限制”的，若函數(shù)f（x）=x²-ax+a²在區(qū)間[

1

a

，a]（a＞0）上是“被2限制”的，則a的取值范圍是（　�。�

• A、（1，

  2

  ]
• B、（1，

  3 2

  ]
• C、（1，2]
• D、[

  3	2 3

  ，

  2

  ]

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)“被k限制”的定義，可以構(gòu)造出關(guān)于x的不等式（組）恒成立，然后借助于二次函數(shù)的性質(zhì)構(gòu)造出a的不等式求解．

解答： 解：由題意可得當(dāng)x∈[

1

a

，a]時(shí)，

1

2a

≤x²-ax+a²≤2a恒成立，且由已知得a＞

1

a

，解得a＞1，
令f（x）=x²-ax+a²=（x-

a

2

）²+

3

4

a2，顯然對(duì)稱軸x=

a

2

∈[

1

a

，a]，
所以f(x)min=f(

a

2

)=

3

4

a2，f（x）max=max{f（

1

a

），f（a）}．又因?yàn)?span id="t33l133" class="MathJye">f(

1

a

)=a2+

1

a2

-1，f（a）=a²，結(jié)合a＞1，所以f（a）＞f(

1

a

)．
所以要使原式成立恒成立，只需

3 4 a2≥ 1 2a a2≤2a

，解得

3	2 3

≤a≤2，又因?yàn)閍＞1，所以1＜a≤2為所求．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了新定義問題的解題思路，關(guān)鍵是正確理解新定義，將問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)不等式恒成立問題來解，從而將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題求解．