Question

13．已知數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和為S_n，滿足S₂+a₁=0，a₃=12．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）是否存在正整數(shù)n，使得S_n＞2010？若存在，求n的最小值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）S₂+a₁=0，a₁+a₂+a₁=0，求得q=-2，a₁=3，寫出通項(xiàng)公式，
（2）分類討論，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)寫出其前n項(xiàng)和公式S_n=2ⁿ⁺¹+1，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)寫出其前n項(xiàng)和公式S_n=-2ⁿ⁺¹+1，
判斷S_n＞2010，解得n=9.97，n為奇數(shù)，存在最小奇數(shù)n=11，使得S_n＞2010．

解答 解：（1）S₂+a₁=0，a₁+a₂+a₁=0，
∴$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=-2，
∴q=-2，${a}_{1}•{q}^{2}$
a₁=3，
∴a_n=3（-1）^n-1•2^n-1，
（2）當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n，
=3（1-2+2²-2³+2⁴+…+2^n-1），
=3[（1+2²+2⁴+…+2^n-1）-（2+2³+2⁵+…+2^n-2），
=3[$\frac{{2}^{n+1}-1}{3}$-$\frac{{2}^{n}-2}{3}$]，
=2ⁿ⁺¹+1；
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n，
=3（1-2+2²-2³+2⁴+…-2^n-1），
=3[（1+2²+2⁴+…+2^n-2）-（2+2³+2⁵+…+2^n-1）]，
=3[$\frac{{2}^{n+1}-1}{3}$-$\frac{{2}^{n}-2}{3}$]，
=-2ⁿ⁺¹+1；
S_n＞2010，即2ⁿ⁺¹+1＞2010，n＞9.97，n為奇數(shù)，
即n=11，
∴存在最小值n=11，使S₁₁=4097＞2010．

點(diǎn)評(píng) 本題考查求等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式，采用分類n為奇數(shù)和偶數(shù)的情況，屬于中檔題．