已知命題p:關于x的方程x2+ax+a2-1=0有一正根和一負根;q:函數(shù)y=(2a2-a)1-x為減函數(shù),若p或q為真p且q為假,求實數(shù)a的范圍.
分析:根據(jù)題意可得命題q得:a<-
1
2
或a>1.命題q:a<-
1
2
或a>1,且p、q中必一真一假.當p真q假時,由
-1<a<1
-
1
2
≤a≤1
求得實數(shù)a的范圍;當p假q真時,由
a≤-1或a≥1
a<-
1
2
或a>1
求得實數(shù)a的范圍,再把實數(shù)a的范圍取并集即得所求.
解答:解:令f(x)=x2+ax+a2-1,由題意得f(0)<0,即a2-1<0,
∴命題p即:-1<a<1.…(3分)
由命題q得:2a2-a>1,即 a<-
1
2
 或a>1,
∴命題q即:a<-
1
2
或a>1.…(6分)
∵p或q為真p且q為假,∴p、q中必一真一假.
(1)當p真q假時,
-1<a<1
-
1
2
≤a≤1
,∴-
1
2
≤a<1
.…(8分)
(2)當p假q真時,
a≤-1或a≥1
a<-
1
2
或a>1
,∴a≤-1或a>1.…(10分)
∴實數(shù)a的范圍是a≤-1或-
1
2
≤a<1
或a>1,即(-∞,-1]∪[-
1
2
,1]∪(1,+∞). …(12分)
點評:本題主要考查一元二次方程根的分布與系數(shù)的關系,符合命題的真假,體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學思想,屬于中檔題.
練習冊系列答案
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知命題P:關于x的不等式x2+(a-1)x+1≤0的解集為∅,命題q:方程
x2
2
+
y2
a
=1表示焦點在y軸上的橢圓,若命題¬q為真命題,p∨q為真命題,求實數(shù)a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知命題p:關于x的方程x2-ax+4=0有實根,命題q:關于x函數(shù)y=2x2+ax+4在[3,+∞)上為增函數(shù),若“p或q”為真命題,“p且q”為假命題,則實數(shù)a取值范圍為(  )

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已知命題p:關于x的不等式x2-2x-a>0解集為R;命題q:曲線y=x2+(2a-3)x+1與x軸交于不同的兩點.如果“p且q”為假命題,“p或q”為真命題,則實數(shù)a的取值范圍為
[-1,1)∪(
5
2
,+∞)
[-1,1)∪(
5
2
,+∞)

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知命題p:“關于x的方程x2-ax+a=0無實根”和命題q:“函數(shù)f(x)=x2-ax+a在區(qū)間[-1,+∞)上單調(diào).如果命題p∨q是假命題,那么,實數(shù)a的取值范圍是( 。
A、(0,4)B、(-∞,2]∪(0,4)C、(-2,0]∪[4,+∞)D、[-2,0)∪(4,+∞)

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知命題p:關于x的方程x2-2x+a=0有實根,命題q:函數(shù)f(x)=(a+1)x+2是減函數(shù),若p∨q是真命題,求實數(shù)a的取值范圍.

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