Question

拋物線y²=2px（p＞0），其準線方程為x=-1，過準線與x軸的交點M做直線l交拋物線于A、B兩點．
（Ⅰ）若點A為MB中點，求直線l的方程；
（Ⅱ）設(shè)拋物線的焦點為F，當AF⊥BF時，求△ABF的面積．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）通過拋物線方程求出p，設(shè)出直線的方程，與拋物線聯(lián)立方程組，通過韋達定理結(jié)合點A為MB中點，即可求解直線l的方程；
（Ⅱ）利用AF⊥BF，結(jié)合向量的數(shù)量積，表示出三角形的面積，利用第一問韋達定理，即可求△ABF的面積．

解答： （本小題滿分13分）
解：（Ⅰ）∵拋物線的準線方程為x=-1
∴

p

2

=1，p=2-----------------------（1分）
∴拋物線的方程為y²=4x-----------------------（2分）
顯然，直線l與坐標軸不平行
∴設(shè)直線l的方程為x=my-1，A(

y 2 1

4

，y1)B(

y 2 2

4

，y2)-----------------------（3分）
聯(lián)立直線與拋物線的方程

x=my-1 y2=4x

，得y²-4my+4=0-----------------------（4分）
△=16m²-16＞0，解得m＜-1或m＞1-----------------------（5分）
∵點A為MB中點，∴y1=

0+y2

2

，即y₂=2y₁
∴y1y2=2y12=4，解得y1=±

2

-----------------------（6分）
y₁+y₂=4m，∴4m=

2

+2

2

或4m=-

2

-2

2

∴m=±

3

4

2

-----------------------（7分）
直線方程為4x-3

2

y+4=0或4x+3

2

y+4=0．-----------------------（8分）
（Ⅱ）焦點F（1，0），

FA

=(

y 2 1

4

-1，y1)，

FB

=(

y 2 2

4

-1，y2)
∵AF⊥BF

FA • FB = y 2 1 4 • y 2 2 4 - y 2 1 4 - y 2 2 4 +1+y 1y2 = y 2 1 y 2 2 16 - y 2 1 + y 2 2 4 +1+y 1y2 =8- (y1+y2)2 4 =0

∴(y1+y2)2=32-----------------------（11分）

S△ABF=S△MBF-S△AMF= 1 2 |MF|•|y2|- 1 2 |MF|•|y1|  =|y2|-|y1|= (y1+y2)2-4y1y2 =4

-----------------------（13分）

點評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系及拋物線方程的求解，考查向量在幾何正中定義域，考查學(xué)生分析問題解決問題的能力，解決本題的關(guān)鍵是韋達定理的應(yīng)用．