【題目】設有一組圓,下列四個命題:①存在一條定直線與所有的圓均相切;②存在一條定直線與所有的圓均相交;③存在一條定直線與所有的圓均不相交;④所有的圓均不經(jīng)過原點;其中真命題的個數(shù)為(

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】

根據(jù)圓的方程找出圓心坐標,發(fā)現(xiàn)滿足條件的所有圓的圓心在一條直線上,所以這條直線與所有的圓都相交,②正確;根據(jù)圖象可知這些圓互相內(nèi)含,不存在一條定直線與所有的圓均相切,不存在一條定直線與所有的圓均不相交,所以①③錯;利用反證法,假設經(jīng)過原點,將代入圓的方程,因為左邊為奇數(shù),右邊為偶數(shù),故不存在使上式成立,假設錯誤,則圓不經(jīng)過原點,④正確.

解:根據(jù)題意得:圓心,圓心在直線上,故存在直線與所有圓都相交,選項②正確;

考慮兩圓的位置關系,

:圓心,半徑為,

:圓心,,即,半徑為,

兩圓的圓心距,

兩圓的半徑之差

任取2時,含于之中,選項①錯誤;

取無窮大,則可以認為所有直線都與圓相交,選項③錯誤;

帶入圓的方程,則有,即,

因為左邊為奇數(shù),右邊為偶數(shù),故不存在使上式成立,即所有圓不過原點,選項④正確.

則正確命題是②④.

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為了更好的測評各個學校數(shù)學學科的教學質(zhì)量,該公司依據(jù)每一位考生的數(shù)學測試分數(shù)將其劃分為“,”三個不同的等級,并按照不同的等級,設置相應的對學校數(shù)學學科教學質(zhì)量貢獻的積分,如下表所示.

測試分數(shù)的范圍

分數(shù)對應的等級

貢獻的積分

1

2

3

1)用樣本的頻率分布估計總體的頻率分布,若將甲學?忌臄(shù)學測試等級劃分為“等”和“非等”兩種,利用分層抽樣抽取10名考生,再從這10人隨機抽取3人,求3人中至少1人數(shù)學測試為“等”的概率;

2)視頻率分布直方圖中的頻率為概率,用樣本估計總體,若從乙學校全體考生中隨機抽取3人,記3人中數(shù)學測試等級為“等”的人數(shù)為,求的分布列和數(shù)學期望;

3)根據(jù)考生的數(shù)學測試分數(shù)對學校數(shù)學學科教學質(zhì)量貢獻的積分規(guī)則,分別記甲乙兩所學校數(shù)學學科質(zhì)量的人均積分為,用樣本估計總體,求的估計值,并以此分析,你認為哪所學校本次數(shù)學教學質(zhì)量更加出色?

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