Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=n²+n，數(shù)列{b_n}滿足b_n+2-2b_n+1+b_n=0（n∈N^*），且b₃=11，前9項(xiàng)和為153．
（1）求數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)c_n=，數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為T_n，若對(duì)任意正整數(shù)n，T_n∈[a，b]，求b-a的最小值．

Answer 1

解：（1）因?yàn)镾_n=n²+n，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=n+5，
當(dāng)n=1時(shí)a₁=S₁=6，滿足上式，所以a_n=n+5，
又因?yàn)閎_n+2-2b_n+1+b_n=0，所以數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列，
由S₉==153，b₃=11，故b₇=23，
所以公差d==3，所以b_n=b₃+（n-3）d=3n+2，
（2）由（1）知c_n==
=（），
所以T_n=c₁+c₂+…+c_n
=[（1-）+（-）+…+（-）]
=（1-）=，
又因?yàn)門_n+1-T_n=-=＞0，
所以{T_n}單調(diào)遞增，故（T_n）_min=T₁=，
而T_n=＜=，故≤T_n＜，
所以對(duì)任意正整數(shù)n，T_n∈[a，b]時(shí)，a的最大值為，b的最小值為，故（b-a）_min=-=．
分析：（1）利用已知條件通過a_n=S_n-S_n-1，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，利用b_n+2-2b_n+1+b_n=0（n∈N^*），且b₃=11，前9項(xiàng)和為153，求出公差，然后求出{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）利用c_n=，求出表達(dá)式，通過裂項(xiàng)法直接求解數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為T_n，然后通過數(shù)列和的最值求b-a的最小值．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列遞推式，數(shù)列的求和，裂項(xiàng)法的應(yīng)用，數(shù)列天通項(xiàng)公式的求法，考查計(jì)算能力．