Question

數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a₂=2，a_n+2=2a_n+1-a_n+2．
（Ⅰ）設(shè)b_n=a_n+1-a_n，證明{b_n}是等差數(shù)列；
（Ⅱ）求{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式,等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,等差關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）將a_n+2=2a_n+1-a_n+2變形為：a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n+2，再由條件得b_n+1=b_n+2，根據(jù)條件求出b₁，由等差數(shù)列的定義證明{b_n}是等差數(shù)列；
（Ⅱ）由（Ⅰ）和等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出b_n，代入b_n=a_n+1-a_n并令n從1開始取值，依次得（n-1）個(gè)式子，然后相加，利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求出{a_n}的通項(xiàng)公式a_n．

解答： 解：（Ⅰ）由a_n+2=2a_n+1-a_n+2得，
a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n+2，
由b_n=a_n+1-a_n得，b_n+1=b_n+2，
即b_n+1-b_n=2，
又b₁=a₂-a₁=1，
所以{b_n}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，b_n=1+2（n-1）=2n-1，
由b_n=a_n+1-a_n得，a_n+1-a_n=2n-1，
則a₂-a₁=1，a₃-a₂=3，a₄-a₃=5，…，a_n-a_n-1=2（n-1）-1，
所以，a_n-a₁=1+3+5+…+2（n-1）-1
=

(n-1)(1+2n-3)

2

=（n-1）²，
又a₁=1，
所以{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=（n-1）²+1=n²-2n+2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式，及累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．