Question

（2013•�？诙�模）已知球O的半徑OD=3，線段OD上一點M滿足OM=2MD，過M且與OD成30°角的平面截球O的表面得到圓N，三棱錐S-ABC的底面ABC內接于圓N，頂點S在球O的表面上，則三棱錐S-ABC體積的最大值為（　　）

• A．8

  6

• B．8

  3

• C．4

  6

• D．4

  3

Answer 1

分析：根據(jù)題意，算出OM=2且MD=1．連結ON，小圓中作出過MN的半徑NK，連結KO．由圓N所在平面與直線OD成30°角算出ON=1，從而得到三棱錐S-ABC高的最大值為NS=ON+OS=4．再由圓的截面圓性質算出圓N的半徑r=2

2

，從而得到△ABC的面積最大值為S=6

3

，由此結合錐體體積公式即可算出三棱錐S-ABC體積的最大值．

解答：解：∵OD=3，且OM=2MD，∴OM=2，MD=1
連結ON，小圓中作出過MN的半徑NK，連結KO
∵圓N所在平面與OD成30°角
∴Rt△OMN中，ON=OMsin30°=1
∵三棱錐S-ABC的底面△ABC在圓N所在的平面內
∴當點S在直線ON上，且在NO的延長線上時，三棱錐S-ABC的高等于NS=4，
此時三棱錐S-ABC的高達到最大值
∵Rt△KON中，OK=OD=3，ON=1，∴圓N的半徑r=NK=

32-12

=2

2

∵圓的內接等邊三角形面積是其內接三角形的面積最大值
∴△ABC的面積最大值為S=2r²sinAsinBsinC=2×8×（

3

2

）³=6

3

由此可得三棱錐S-ABC體積的最大值為V=

1

3

S_△ABC×NS=

1

3

×6

3

×4=8

3

故選：B

點評：本題在球O中給出與半徑OD成30度角的截面，求三棱錐S-ABC體積的最大值．著重考查了球的截面圓性質、直線與平面所成角、圓內接三角形面積求法和錐體體積公式等知識，屬于中檔題．