Question

袋子A中裝有若干個(gè)均勻的紅球和白球，從A中摸出一個(gè)紅球的概率是．從A中有放回地摸球，每次摸出一個(gè)，有3次摸到紅球即停止．
（Ⅰ）求恰好摸5次停止的概率；
（Ⅱ）記5次之內(nèi)（含5次）摸到紅球的次數(shù)為ξ，求隨機(jī)變量ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望Eξ．

Answer 1

解：（Ⅰ）（i）由題意知本題是在相同的條件下進(jìn)行的試驗(yàn)，且事件發(fā)生的概率相同，
可以看作獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，恰好摸5次停止表示第五次一定摸到紅球，
前四次有兩次摸到紅球，根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)公式得到
C₄²×；

（Ⅱ）由題意知從A中有放回地摸球，每次摸出一個(gè)，有3次摸到紅球即停止
∴隨機(jī)變量ξ的取值為0，1，2，3；
由n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率公式P_n（k）=C_n^kp^k（1-p）^n-k，得
P（ξ=0）=C₅⁰×；
P（ξ=1）=C₅¹×；
P（ξ=2）=C₅²×；
P（ξ=3）=C₅³×
隨機(jī)變量ξ的分布列是
∴ξ的數(shù)學(xué)期望是Eξ=．
分析：（Ⅰ）由題意知本題是在相同的條件下進(jìn)行的試驗(yàn)，且事件發(fā)生的概率相同，可以看作獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，恰好摸5次停止表示第次一定摸到紅球，前四次有兩次摸到紅球，根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)公式得到結(jié)果．
（Ⅱ）由題意知從A中有放回地摸球，每次摸出一個(gè)，有3次摸到紅球即停止，隨機(jī)變量ξ的取值為0，1，2，3；由n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率公式得到概率，寫出分布列和期望．
點(diǎn)評：解決離散型隨機(jī)變量分布列問題時(shí)，主要依據(jù)概率的有關(guān)概念和運(yùn)算，同時(shí)還要注意題目中離散型隨機(jī)變量服從什么分布，若服從特殊的分布則運(yùn)算要簡單的多．屬中檔題．