Question

已知f（x）=3^x，并且f（a+2）=18，g（x）=3^ax-4^x的定義域為區(qū)間[-1，1]．
（1）求函數(shù)g（x）的解析式；
（2）用定義證明g（x）在[-1，1]上為單調(diào)遞減函數(shù)；
（3）若函數(shù)y=f（x）-4和g（x）值域相同，求y=f（x）-4的定義域．

Answer 1

分析：（1）f（x）=3^x，并且f（a+2）=18，g（x）=3^ax-4^x，可得3^a+2=18，可求得a的值，可以求得函數(shù)g（x）的解析式；
（2）可得g（x）的解析式，任取實數(shù)x₁，x₂滿足-1≤x₁＜x₂≤1，利用定義法進行求解，判斷g（x₁）-g（x₂）與0的關(guān)系，從而求解；
（3）利用換元法，令t=2^x，x∈[-1，1]，則2^x∈[

1

2

，2]，求出g（x）的值域，可以求出y=f（x）-4的定義域．

解答：解：（1）∵f（a+2）=18，f（x）=3^x，
∴3^a+2=18⇒3^a=2，
∴g（x）=（3^a）^x-4^x=2^x-4^x，x∈[-1，1]…（4分）
（2）g（x）=2^x-4^x，x∈[-1，1]，任取實數(shù)x₁，x₂滿足-1≤x₁＜x₂≤1

g(x1)-g(x2)=2x1-4x1-(2x2-4x2)=2x1-4x1-2x2+4x2   =2x1-2x2+(2x2)2-(2x1)2   =(2x2-2x1)(2x1+2x2-1)

y=2^x為單調(diào)遞增函數(shù)，-1≤x₁＜x₂≤1，則2x2-2x1＞02x1≥2-1=

1

2

，2x2＞2x1≥

1

2

，
則2x1+2x1＞1
則g（x₁）-g（x₂）＞0，于是g（x）在[-1，1]上為單調(diào)遞減函數(shù)…（8分）
（3）令t=2^x，x∈[-1，1]，則2^x∈[

1

2

，2]，⇒t-t²=-（t-

1

2

）²+

1

4

，t∈[

1

2

，2]，
于是g（x）值域為[-2，

1

4

]，則y=f（x）-4值域為[-2，

1

4

]即
-2≤3x-4≤

1

4

，得log₃2≤x≤log3

17

4

，
即y=f（x）-4的定義域為：[log₃2，log3

17

4

]；

點評：此題主要考查函數(shù)的單調(diào)性的證明與應(yīng)用，以及函數(shù)的解析式的求法，利用定義法求出函數(shù)的單調(diào)性是常考的題目，此題是一道中檔題；