【題目】[2018·郴州期末]已知三棱錐中，垂直平分，垂足為，是面積為的等邊三角形，，，平面，垂足為，為線段的中點(diǎn)．

（1）證明：平面；

（2）求與平面所成的角的正弦值．

【答案】（1）見解析（2）

【解析】試題分析：

（1）要證線面垂直，一般先證線線垂直，這可由和是等邊三角形及O是AB中點(diǎn)易得；

（2）要求直線與平面所成的角，一種方法作出線面角的平面角，然后解三角形得結(jié)論，也可建立空間直角坐標(biāo)系，如解析中的坐標(biāo)系，寫出各點(diǎn)坐標(biāo)，求出直線的方向向量與平面的法向量，由方向向量與法向量的夾角與直線和平面所成角互余可得．

試題解析：

（1）證明：∵垂直平分，垂足為，∴.

∵，∴是等邊三角形.

又是等邊三角形.

∴是中點(diǎn)，，.

∵，，平面，∴平面.

（2）解：由（1）知，平面平面.

因為平面與平面的交線為.

∵平面.∴.

又等邊面積為，∴

又，∴ 是中點(diǎn).

如圖建立空間直角坐標(biāo)系，

，，，

所以，，

設(shè)平面的法向量為，則

，取，則，.

即平面的一個法向量為.

所以與平面所成角的正弦值為.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線的焦點(diǎn)F在直線上。

（Ⅰ）求拋物線C的方程。

（Ⅱ）過點(diǎn)做互相垂直的兩條直線與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，與曲線C交于E,F兩點(diǎn)，線段AB、EF的中點(diǎn)分別為M、N，求證：直線MN過定點(diǎn)P，并求出定點(diǎn)P的坐標(biāo)。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】為打贏打好脫貧攻堅戰(zhàn)，實(shí)現(xiàn)建檔立卡貧困人員穩(wěn)定增收，某地區(qū)把特色養(yǎng)殖確定為脫貧特色主導(dǎo)產(chǎn)業(yè)，助力鄉(xiāng)村振興.現(xiàn)計劃建造一個室內(nèi)面積為平方米的矩形溫室大棚，并在溫室大棚內(nèi)建兩個大小、形狀完全相同的矩形養(yǎng)殖池，其中沿溫室大棚前、后、左、右內(nèi)墻各保留米寬的通道，兩養(yǎng)殖池之間保留2米寬的通道.設(shè)溫室的一邊長度為米，如圖所示.

（1）將兩個養(yǎng)殖池的總面積表示為的函數(shù)，并寫出定義域；

（2）當(dāng)溫室的邊長取何值時，總面積最大？最大值是多少？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在四面體ABCD中，△ABC是等邊三角形，平面ABC⊥平面ABD，點(diǎn)M為棱AB的中點(diǎn)，AB=2，AD=，∠BAD=90°．

（Ⅰ）求證：AD⊥BC；

（Ⅱ）求異面直線BC與MD所成角的余弦值；

（Ⅲ）求直線CD與平面ABD所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)， .

（1）求的單調(diào)區(qū)間；

（2）若圖像上任意一點(diǎn)處的切線的斜率，求的取值范圍；

（3）若對于區(qū)間上任意兩個不相等的實(shí)數(shù)都有成立，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓： （）的左右焦點(diǎn)分別為， ，若橢圓上一點(diǎn)滿足，且橢圓過點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn) .

（1）求橢圓的方程；

（2）過點(diǎn)作軸的垂線，交橢圓于，求證： ， ， 三點(diǎn)共線.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在三棱柱ABC-中，平面ABC，D，E，F，G分別為，AC，，的中點(diǎn)，AB=BC=，AC==2．

（Ⅰ）求證：AC⊥平面BEF；

（Ⅱ）求二面角B-CD-C1的余弦值；

（Ⅲ）證明：直線FG與平面BCD相交．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】以“你我中國夢，全民建小康”為主題、“社會主義核心價值觀”為主線，為了了解兩個地區(qū)的觀眾對2018年韓國平昌冬奧會準(zhǔn)備工作的滿意程度，對地區(qū)的100名觀眾進(jìn)行統(tǒng)計，統(tǒng)計結(jié)果如下：

在被調(diào)查的全體觀眾中隨機(jī)抽取1名“非常滿意”的人是地區(qū)的概率為0.45，且.

（Ⅰ）現(xiàn)從100名觀眾中用分層抽樣的方法抽取20名進(jìn)行問卷調(diào)查，則應(yīng)抽取“滿意”的地區(qū)的人數(shù)各是多少？

（Ⅱ）在（Ⅰ）抽取的“滿意”的觀眾中，隨機(jī)選出3人進(jìn)行座談，求至少有兩名是地區(qū)觀眾的概率？

（Ⅲ）完成上述表格，并根據(jù)表格判斷是否有的把握認(rèn)為觀眾的滿意程度與所在地區(qū)有關(guān)系？

附： ， .

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】若數(shù)列滿足：對于任意均為數(shù)列中的項，則稱數(shù)列為“ 數(shù)列”．

（1）若數(shù)列的前項和，求證：數(shù)列為“ 數(shù)列”；

（2）若公差為的等差數(shù)列為“ 數(shù)列”，求的取值范圍；

（3）若數(shù)列為“ 數(shù)列”，，且對于任意，均有，求數(shù)列的通項公式．

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