Question

19．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）與函數(shù)y=$\sqrt{x}$（x≥0）的圖象交于點P，若函數(shù)y=$\sqrt{x}$的圖象與點P處的切線過雙曲線左焦點F（-4，0），則雙曲線的離心率是（　　）

• A． $\frac{\sqrt{17}+4}{4}$
• B． $\frac{\sqrt{17}+3}{4}$
• C． $\frac{\sqrt{17}+2}{4}$
• D． $\frac{\sqrt{17}+1}{4}$

Answer 1

分析 設P的坐標為（m，$\sqrt{m}$），求函數(shù)導數(shù)，利用導數(shù)的幾何意義以及切線斜率公式建立方程關系求出m=4，根據(jù)雙曲線的定義求出a，c即可．

解答 解：設P的坐標為（m，$\sqrt{m}$），左焦點F（-4，0），
函數(shù)的導數(shù)f′（x）=$\frac{1}{2\sqrt{x}}$，則在P處的切線斜率k=f′（m）=$\frac{1}{2\sqrt{m}}$=$\frac{\sqrt{m}}{m+4}$，
即m+4=2m，得m=4，
則P（4，2），設右焦點為A（4，0），
則2a=|PF|-|PA|=$\sqrt{64+4}-\sqrt{0+4}$=2（$\sqrt{17}-1$），
即a=$\sqrt{17}-1$，
∵c=4，
∴雙曲線的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{17}+1}{4}$，
故選：D

點評 本題考查雙曲線的離心率的求法，根據(jù)導數(shù)的幾何意義，建立切線斜率關系，求出a，c是解決本題的關鍵．考查運算能力．