Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=n²+2n．?dāng)?shù)列{b_n}中，b₁=1，bn=abn-1（n≥2）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若存在常數(shù)t使數(shù)列{b_n+t}是等比數(shù)列，求數(shù)列{b_n}的通項公式；
（3）求證：①b_n+1＞2b_n；②

1

b1

+

1

b2

+

1

b3

+…+

1

bn

＜2-

1

bn

．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)n≥2時，根據(jù)a_n=S_n-S_n-1求得數(shù)列{a_n}的通項公式；n=1時，a₁=S₁，進而可得答案．
（2）根據(jù)（1）中求得的{a_n}的通項公式，代入bn=abn-1后等號兩邊同時加1，整理可得b_n+1=2（b_n-1+1），同時判斷n=1時，也成立，進而可知{b_n+1}是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，進而可判定t的值和數(shù)列{b_n+1}的通項公式，最后可得數(shù)列{b_n}的通項公式．
（3）把（1）中的b_n，代入b_n+1-2b_n整理后可知b_n+1-2b_n=1＞0，進而可判定b_n+1＞2b_n；設(shè)S=

1

b1

+

1

b2

+

1

b3

++

1

bn

，根據(jù)b_n+1＞2b_n則可判定S＜

1

b1

+

1

2

(S-

1

2bn

)，整理即可使原式得證．

解答：解：（1）n=1時，a₁=S₁=3，n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=（n²+2n）-（n-1）²-2（n-1）=2n+1，
且n=1時也適合此式，故數(shù)列{a_n}的通項公式是a_n=2n+1；
（2）依題意，n≥2時，bn=abn-1=2bn-1+1，
∴b_n+1=2（b_n-1+1），又b₁+1=2，
∴{b_n+1}是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，
即存在常數(shù)t=2使數(shù)列{b_n+t}是等比數(shù)列b_n+1=2•2^n-1=2ⁿ，即b_n=2ⁿ-1．
（3）①b_n+1-2b_n=（2ⁿ⁺¹-1）-2（2ⁿ-1）=1＞0所以b_n+1＞2b_n對一切自然數(shù)n都成立．
②由b_n+1＞2b_n得

1

bn+1

＜

1

2bn

，設(shè)S=

1

b1

+

1

b2

+

1

b3

++

1

bn

，
則S＜

1

b1

+

1

2b1

+

1

2b2

+…+

1

2bn-1

=

1

b1

+

1

2

(S-

1

2bn

)，所以S＜

2

b1

-

1

bn

=2-

1

bn

．

點評：本題主要考查了等差數(shù)列的通項公式．屬基礎(chǔ)題．