0<a≤
1
5
是函數(shù)f(x)=ax2+2(a-1)x+2在區(qū)間(-∞,4]上為減函數(shù)的(  )條件.
分析:對a進(jìn)行討論,當(dāng)a=0時,函數(shù)為一次函數(shù),當(dāng)a≠0時,函數(shù)為二次函數(shù),此時分兩種情況,當(dāng)a>0時,函數(shù)開口向上,先減后增,當(dāng)a<0時,函數(shù)開口向下,先增后減,求出函數(shù)f(x)=ax2+2(a-1)x+2在區(qū)間(-∞,4]上的減函數(shù)的充要條件再進(jìn)行判斷即可.
解答:解:(1)當(dāng)a=0時,函數(shù)為一次函數(shù)f(x)=-2x+2為遞減函數(shù),
(2)當(dāng)a>0時,二次函數(shù)開口向上,先減后增,故函數(shù)對稱軸為x=
1-a
a
≥4
,解得0<a≤
1
5
;
當(dāng)a<0時,函數(shù)開口向下,先增后減,
函數(shù)f(x)=ax2+2(a-1)x+2在區(qū)間(-∞,4]上不可能為減函數(shù),故舍去.
故函數(shù)f(x)=ax2+2(a-1)x+2在區(qū)間(-∞,4]上的減函數(shù)的充要條件為0≤a≤
1
5

由0<a≤
1
5
能推出0≤a≤
1
5
,但由0<a≤
1
5
不能推出0≤a≤
1
5

故0<a≤
1
5
是函數(shù)f(x)=ax2+2(a-1)x+2在區(qū)間(-∞,4]上為減函數(shù)的充分不必要條件.
故選A.
點評:本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)單調(diào)性和對稱軸、充要條件的判斷,屬于基礎(chǔ)題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

0<a≤
15
”是“函數(shù)f(x)=ax2+2(a-1)x+2在區(qū)間(-∞,4]上的減函數(shù)”的
充分不必要
充分不必要
條件.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2011•自貢三模)給出下列5個命題:
①0<a≤
1
5
是函數(shù)f(x)=ax2+2(a-1)x+2在區(qū)間(-∞,4]上為單調(diào)減函數(shù)的充要條件
②如圖所示,“嫦娥探月衛(wèi)星”沿地月轉(zhuǎn)移軌道飛向月球,在月球附近一點P進(jìn)入以月球球心F為一個焦點的橢圓敘道I繞月飛行,之后衛(wèi)星在P點第二次變軌進(jìn)入仍以F為一個焦點的橢圓軌道II繞月飛行,最終衛(wèi)星在P點第三次變軌進(jìn)入以F為圓心的圓形軌道III繞月飛行,若用2cl和2c2分別表示橢圓軌道I和II的焦距,用2a1和2a2分別表示橢圓軌道I和II的長軸的長,則有a1-c1=a2-c2
③y=f(x)與它的反函數(shù)y=f-1(x)的圖象若相交,則交點必在直線y=x上;
④若a∈(π,
4
),則
1
1-tanα
>1+tanα>
2tanα

⑤函數(shù)f(x)=
e-x+3
e-x+2
(e是自然對數(shù)的底數(shù))的最小值為2.
其中所有真命題的代號有
②④
②④

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)給出下列5個命題:
①0<a≤
1
5
是函數(shù)f(x)=ax2+2(a-1)x+2在區(qū)間(-∞,4]上為單調(diào)減函數(shù)的充要條件;
②如圖所示,“嫦娥探月衛(wèi)星”沿地月轉(zhuǎn)移軌道飛向月球,在月球附近一點P進(jìn)入以月球球心F為一個焦點的橢圓軌道I繞月飛行,之后衛(wèi)星在P點第二次變軌進(jìn)入仍以F為一個焦點的橢圓軌道II繞月飛行,最終衛(wèi)星在P點第三次變軌進(jìn)入以F為圓心的圓形軌道III繞月飛行,若用2Cl和2c2分別表示摘圓軌道I和II的焦距,用2a1和2a2分別表示橢圓軌道I和II的長軸的長,則有c1a2>a1c2;
③函數(shù)y=f(x)與它的反函數(shù)y=f-1(x)的圖象若相交,則交點必在直線y=x上;
④己知函數(shù)f(x)=loga(1-ax)在(O,1)上滿足,f′(x)>0,貝U
1
1-a
>1+a>
2a
;
⑤函數(shù)f(x)=
tan2x+
(1+i)2
i
+1
tan2x+2
(x≠kπ+
π
2
),k∈Z,/為虛數(shù)單位)的最小值為2;
其中所有真命題的代號是
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

0<a≤
1
5
”是“函數(shù)f(x)=ax2+2(a-1)x+2在區(qū)間(-∞,4]上的減函數(shù)”的______條件.

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