Question

如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，AB=AC=1，AA₁=2，∠B₁A₁C₁=90°，D為BB₁的中點．
（Ⅰ）求證：AD⊥平面A₁DC；
（Ⅱ）求異面直線C₁D與直線A₁C所成角的余弦值．

Answer 1

分析：解法一：幾何法
（I）根據(jù)直棱柱的幾何特征，結合∠B₁A₁C₁=90°，可證得A₁C₁⊥平面A₁B₁BA，進而AD⊥A₁C₁，由勾股定理可得A₁D⊥AD，最后由線面垂直的判定定理得到AD⊥平面A₁DC；
（Ⅱ）連結AC₁交A₁C于點E，取AD的中點F，連結EF，則EF∥C₁D，∠CEF或它的補角就是異面直線C₁D與直線A₁C所成的角，解△CEF可得答案．
解法二：向量法
（I）以A為原點建立坐標系，求出

A1D

，

AD

，

A1C1

的坐標后，根據(jù)向量垂直的充要條件，及線面垂直的判定定理可得AD⊥平面A₁DC；
（Ⅱ）求出直線C₁D與直線A₁C的方向向量，代入向量夾角公式，可得答案．

解答：解法一：幾何法
證明：（Ⅰ）∵AA₁⊥平面A₁B₁C₁，
∴AA₁⊥A₁C₁
又A₁C₁⊥A₁B₁，
∴A₁C₁⊥平面A₁B₁BA
∴AD⊥A₁C₁
∵AD=

2

，A₁D=

2

，AA₁=2，
由ADAD2+A1D2=A

A

2 1

，
得A₁D⊥AD
∵A₁C₁∩A₁D=A₁
∴AD⊥平面A₁DC₁…（7分）
解：（Ⅱ）連結AC₁交A₁C于點E，取AD的中點F，連結EF，則EF∥C₁D
∴∠CEF或它的補角就是異面直線C₁D與直線A₁C所成的角
由（Ⅰ）知，AD⊥A₁C₁，則AD⊥AC，
又AF=

1

2

AD=

2

2

在△CEF中，CE=

1

2

A1C=

5

2

，EF=

1

2

C1D=

3

2

，CF=

AC2+AF2

=

6

2

cos∠CEF=

CE2+EF2-CF2

2CE•EF

=

15

15

則異面直線C₁D與直線A₁C所成角的余弦值為

15

15

…（14分）
解法二：以A為原點建立坐標系，如圖，則A₁（0，0，2），C（0，1，0），C₁（0，1，2）
D（1，0，1）…（3分）
（Ⅰ）∵

A1D

=（ 1，0，-1 ），

AD

=（ 1，0，1 ），

A1C1

=（ 0，1，0 ），

A1D

•

AD

=1+0-1=0，
∴A₁D⊥AD …（5分）
又

AD

•

A1C1

=0，∴AD⊥A₁C₁
∵A₁D∩A₁C₁=A₁
∴AD⊥A₁DC₁…（8分）
（Ⅱ）

C1D

=（1，-1，-1），

A1C1

=（0，1，-2）

|C1D|

=

3

，

|A1C|

=

5

，

C1D

•

A1C

=1
cos＜

C1D

，

A1C

＞=

C1D •A1C

|C1D| • |A1C|

=

15

15

故直線C₁D與直線A₁C所成角的余弦值

15

15

…（14分）

點評：本題考查的知識點是直線與平面垂直的判定，異面直線及其所成的角，解法一的關鍵是（1）熟練掌握線線垂直，線面垂直，面面垂直之間的相互轉化，（2）將異面直線夾角轉化為解三角形問題，解法二的關鍵是建立空間坐標系，將問題轉化為向量夾角問題．