分析 (1)設(shè)g(x)=ax(a>0且a≠1),由g(3)=8可確定y=g(x)的解析式,故y=f(x)=n−2xm+2x+1,依題意,f(0)=0可求得n,從而可得y=f(x)的解析式;
(2)若h(x)=f(x)+a在(-1,1)上有零點,利用零點存在定理,由h(-1)h(1)<0,可求a的取值范圍;
(3)由(2)知奇函數(shù)f(x)在R上為減函數(shù),對任意的t∈(-4,4),不等式f(6t-3)+f(t2-k)<0恒成立?6t-3>k-t2,分離參數(shù)k,利用二次函數(shù)的單調(diào)性可求實數(shù)k的取值范圍.
解答 (本小題12分)
(1)設(shè)g(x)=ax(a>0且a≠1),∵g(3)=8,∴a3=8,解得a=2.
∴g(x)=2x.…(1分)
∴f(x)=n−2xm+2x+1,
∵函數(shù)f(x)是定義域為R的奇函數(shù),∴f(0)=0,∴n−12+m=0=0,∴n=1,
∴f(x)=1−2xm+2x+1又f(-1)=f(1),∴1−12m+1=−1−24+m=,解得m=2
∴f(x)=1−2x2+2x+1.…(3分)
(2)由(1)知f(x)=1−2x2+2x+1=−12+12x+1,
易知f(x)在R上為減函數(shù),…(4分)
又h(x)=f(x)+a在(-1,1)上有零點,
從而h(-1)h(1)<0,即(−12+112+1+a)(−12+12+1+a)<0,…(6分)
∴(a+16)(a-16)<0,
∴-16<a<16,
∴a的取值范圍為(-16,16);…(8分)
(3)由(1)知f(x)=1−2x2+2x+1=−12+12x+1,
又f(x)是奇函數(shù),∴f(6t-3)+f(t2-k)<0,
∴f(6t-3)<-f(t2-k)=f(k-t2),
∵f(x)在R上為減函數(shù),由上式得6t-3>k-t2,…(10分)
即對一切t∈(-4,4),有t2+6t-3>k恒成立,
令m(t)=t2+6t-3,t∈(-4,4),易知m(t)>-12,…(11分)
∴k<-12,即實數(shù)k的取值范圍是(-∞,-12).…(12分)
點評 本題考查函數(shù)恒成立問題,考查函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的應(yīng)用,考查零點存在定理及二次函數(shù)的性質(zhì),考查函數(shù)方程思想、轉(zhuǎn)化思想與運算求解能力,屬于綜合題.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | x≤N | B. | x<N | C. | x>N | D. | x≥N |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | (-∞,15] | B. | [-15,1] | C. | (-15,13] | D. | (13,1] |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | y<xz | B. | x<z<y | C. | z<y<x | D. | x<y<z |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
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