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16.已知指數(shù)函數(shù)y=g(x)滿足:g(3)=8,定義域為R的函數(shù)f(x)=ngxm+2gx是奇函數(shù).
(1)確定y=g(x),y=f(x)的解析式;
(2)若h(x)=f(x)+a在(-1,1)上有零點,求a的取值范圍;
(3)若對任意的t∈(-4,4),不等式f(6t-3)+f(t2-k)<0恒成立,求實數(shù)k的取值范圍.

分析 (1)設(shè)g(x)=ax(a>0且a≠1),由g(3)=8可確定y=g(x)的解析式,故y=fx=n2xm+2x+1,依題意,f(0)=0可求得n,從而可得y=f(x)的解析式;
(2)若h(x)=f(x)+a在(-1,1)上有零點,利用零點存在定理,由h(-1)h(1)<0,可求a的取值范圍;
(3)由(2)知奇函數(shù)f(x)在R上為減函數(shù),對任意的t∈(-4,4),不等式f(6t-3)+f(t2-k)<0恒成立?6t-3>k-t2,分離參數(shù)k,利用二次函數(shù)的單調(diào)性可求實數(shù)k的取值范圍.

解答 (本小題12分)
(1)設(shè)g(x)=ax(a>0且a≠1),∵g(3)=8,∴a3=8,解得a=2.
∴g(x)=2x.…(1分)
fx=n2xm+2x+1,
∵函數(shù)f(x)是定義域為R的奇函數(shù),∴f(0)=0,∴n12+m=0=0,∴n=1,
fx=12xm+2x+1又f(-1)=f(1),∴112m+1=124+m=,解得m=2
fx=12x2+2x+1.…(3分)
(2)由(1)知fx=12x2+2x+1=12+12x+1
易知f(x)在R上為減函數(shù),…(4分)
又h(x)=f(x)+a在(-1,1)上有零點,
從而h(-1)h(1)<0,即12+112+1+a12+12+1+a0,…(6分)
∴(a+16)(a-16)<0,
∴-16<a<16
∴a的取值范圍為(-16,16);…(8分)
(3)由(1)知fx=12x2+2x+1=12+12x+1
又f(x)是奇函數(shù),∴f(6t-3)+f(t2-k)<0,
∴f(6t-3)<-f(t2-k)=f(k-t2),
∵f(x)在R上為減函數(shù),由上式得6t-3>k-t2,…(10分)
即對一切t∈(-4,4),有t2+6t-3>k恒成立,
令m(t)=t2+6t-3,t∈(-4,4),易知m(t)>-12,…(11分)
∴k<-12,即實數(shù)k的取值范圍是(-∞,-12).…(12分)

點評 本題考查函數(shù)恒成立問題,考查函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的應(yīng)用,考查零點存在定理及二次函數(shù)的性質(zhì),考查函數(shù)方程思想、轉(zhuǎn)化思想與運算求解能力,屬于綜合題.

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