Question

已知fn(x)=(1+

x

)n，n∈N^*．
（1）若g（x）=f₄（x）+2f₅（x）+3f₆（x），求g（x）中含x²項(xiàng)的系數(shù)；
（2）若p_n是f_n（x）展開(kāi)式中所有無(wú)理項(xiàng)的系數(shù)和，數(shù)列{a_n}是各項(xiàng)都大于1的數(shù)組成的數(shù)列，試用數(shù)學(xué)歸納法證明：p_n（a₁a₂…a_n+1）≥（1+a₁）（1+a₂）…（1+a_n）．

Answer 1

分析：（1）確定函數(shù)g（x），利用二項(xiàng)式定理可得g（x）中含x²項(xiàng)的系數(shù)；
（2）確定p_n的表達(dá)式，根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的步驟，先證n=1時(shí)成立，再設(shè)n=k時(shí)成立，利用歸納假設(shè)證明n=k+時(shí)成立即可．

解答：（1）解：g（x）=f₄（x）+2f₅（x）+3f₆（x）=(1+

x

)4+2(1+

x

)5+3(1+

x

)6，
∴g（x）中含x²項(xiàng)的系數(shù)為

C

4 4

+2

C

4 5

+3

C

4 6

=1+10+45=56．（3分）
（2）證明：由題意，p_n=2^n-1．（5分）
①當(dāng)n=1時(shí)，p₁（a₁+1）=a₁+1，成立；
②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，p_k（a₁a₂…a_k+1）≥（1+a₁）（1+a₂）…（1+a_k）成立，
當(dāng)n=k+1時(shí)，（1+a₁）（1+a₂）…（1+a_k）（1+a_k+1）≤2^k-1（a₁a₂…a_k+1）（1+a_k+1）
=2^k-1（a₁a₂…a_ka_k+1+a₁a₂…a_k+a_k+1+1）．（*）
∵a_k＞1，a₁a₂…a_k（a_k+1-1）≥a_k+1-1，即a₁a₂…a_ka_k+1+1≥a₁a₂…a_k+a_k+1，
代入（*）式得（1+a₁）（1+a₂）…（1+a_k）（1+a_k+1）≤2^k（a₁a₂…a_ka_k+1+1）成立．
綜合①②可知，p_n（a₁a₂…a_n+1）≥（1+a₁）（1+a₂）…（1+a_n）對(duì)任意n∈N^*成立．（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查二項(xiàng)式定理，考查數(shù)學(xué)歸納法的運(yùn)用，掌握數(shù)學(xué)歸納法的證題步驟是關(guān)鍵．