斜三棱柱ABC—A1B1C1是底面邊長為2的正三角形，頂點A1在底面ABC上的射影O是△ABC的中心，AA1與AB的夾角是45°．

(1)求證：AA1⊥平面A1BC；

(2)求此棱柱的側(cè)面積．

 

答案：
解析：

(1)證明：∵點A1在底面ABC上的射影O是正△ABC的中心，

∴A1—ABC為正三棱錐，AA1=A1B=A1C．

又∠A1AB=45°∴∠AA1B=∠AA1C=90°，即AA1⊥A1B，AA1⊥A1C．

又A1B∩A1C=A，∴AA1⊥平面A1BC．

(2)解：連結(jié)AO并延長交BC于D，

∵是正△ABC的中心，∴AD⊥BC．

又AO是AA1在底面ABC上的射影，

∴AA1⊥BC(由(1)知)，

∵BB1∥AA1，∴BB1⊥BC，

∴BCC1B1是矩形．

在Rt△AA1B中，AA1=A1B==BB1，又BC=2，

∴SAA1B1B=2S△AA1B=2，SBCC1B1=2．

∴S側(cè)=2SAA1B1B＋SBCC1B1=4＋2．

 


提示：

點評：求斜棱柱的側(cè)面積，可以求出每個側(cè)面的面積相加，也可以求出直截面的周長和側(cè)棱長計算其乘積．

 


練習冊系列答案
相關(guān)習題

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精英家教網(wǎng)已知斜三棱柱ABC-A1B1C1，∠BCA=90°，AC=BC=2，A1在底面ABC上的射影恰為AC的中點D，又知BA1⊥AC1．
（Ⅰ）求證：AC1⊥平面A1BC；
（Ⅱ）求CC1到平面A1AB的距離；
（Ⅲ）求二面角A-A1B-C的大�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，斜三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)面AA1C1C是面積為
3
2
的菱形，∠ACC1為銳角，側(cè)面ABB1A1⊥側(cè)面AA1C1C，且A1B=AB=AC=1．
（Ⅰ）求證：AA1⊥BC1；
（Ⅱ）求三棱錐A1-ABC的體積．

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如圖，已知斜三棱柱ABC-A1B1C1，∠BCA=90°，AC=BC=2，A1在底面ABC上的射影恰為AC的中點D，且BA1⊥AC1．
（1）求證：AC1⊥平面A1BC；
（2）求多面體B1C1ABC的體積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2010•撫州模擬）在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=BC=2，∠ABC=120°，又頂點A1在底面ABC上的射影落在AC上，側(cè)棱AA1與底面ABC成60°角，D為AC的中點．
（1）求證：BD⊥AA1；
（2）如果二面角A1-BD-C1為直二面角，試求側(cè)棱CC1與側(cè)面A1ABB1的距離．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知斜三棱柱ABC-A1B1C1，∠BCA=90°，AC=BC=2，A1在底面ABC上的射影恰為AC的中點D，E為AB的中點，BA1⊥AC1．
（Ⅰ）求證：AC1⊥平面A1BC；
（Ⅱ）求二面角B-A1E-C余弦值的大小．

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