已知函數(shù)的圖像是自原點(diǎn)出發(fā)的一條折線,當(dāng)時(shí),該圖像是斜率為的線段(其中正常數(shù)),設(shè)數(shù)列由定義.
Ⅰ.求、和的表達(dá)式;
Ⅱ.求的表達(dá)式,并寫出其定義域;
Ⅲ.證明:的圖像與的圖像沒有橫坐標(biāo)大于1的交點(diǎn).
答案見解析
Ⅰ.解:依題意,又由,當(dāng)時(shí),函數(shù)的圖像是斜率為的線段,故由,得
又由,當(dāng)時(shí),函數(shù)的圖像是斜率為的線段,故由 ,即得
記由函數(shù)圖像中第段線段的斜率為,故得
又;所以
由此知數(shù)列為等比數(shù)列,其首項(xiàng)為1,公比為因得
即
Ⅱ. 解:當(dāng),從Ⅰ可知當(dāng)時(shí),
當(dāng)時(shí),即當(dāng)時(shí),由Ⅰ可知
為求函數(shù)的定義域,須對進(jìn)行討論.
當(dāng)時(shí),;
當(dāng)時(shí),也趨向于無窮大.
綜上,當(dāng)時(shí),的定義域?yàn)?img width=64 height=45 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/70/145270.gif">;
當(dāng)時(shí),的定義域?yàn)?img width=45 height=23 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/73/145273.gif">.
Ⅲ. 證法一:首先證明當(dāng),時(shí),恒有成立.
用數(shù)學(xué)歸納法證明:
(ⅰ)由Ⅱ知當(dāng)時(shí),在上,
所以成立
(ⅱ)假設(shè)時(shí)在上恒有成立.
可得
在上,
所以
也成立.
由(ⅰ)與(ⅱ)知,對所有自然數(shù)在上都有成立.
即 時(shí),恒有.
其次,當(dāng),仿上述證明,可知當(dāng)時(shí),恒有成立.
故函數(shù)的圖像與的圖像沒有橫坐標(biāo)大于1的交點(diǎn).
證法二:首先證明當(dāng),時(shí),恒有成立.
對任意的存在,使,此時(shí)有
所以
又所以,
所以,即有成立.
其次,當(dāng),仿上述證明,可知當(dāng)時(shí),恒有成立.
故函數(shù)的圖像與的圖像沒有橫坐標(biāo)大于1的交點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012-2013學(xué)年甘肅省高三上學(xué)期第一次檢測理科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
(本題滿分為12分)
已知函數(shù)的圖像過坐標(biāo)原點(diǎn),且在點(diǎn)處的切線
的斜率是.
(1)求實(shí)數(shù)的值; (2)求在區(qū)間上的最大值;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013屆安徽省高二下學(xué)期期中質(zhì)量檢測理科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
已知函數(shù)的圖像過坐標(biāo)原點(diǎn),且在點(diǎn)處的切線的斜率是.
(1)求實(shí)數(shù),的值
(2)求在區(qū)間上的值域
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010年湖北省高二12月月考數(shù)學(xué)試卷 題型:解答題
已知函數(shù)的圖像過坐標(biāo)原點(diǎn),且在點(diǎn)處的切線的斜率是.
(1)求實(shí)數(shù),的值
(2)求在區(qū)間上的值域
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(湖北卷)數(shù)學(xué)(理科) 題型:解答題
已知函數(shù)的圖像過坐標(biāo)原點(diǎn),且在點(diǎn)處的切線的斜率是.
(1)求實(shí)數(shù),的值
(2)求在區(qū)間上的值域
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