Question

如圖1，E，F(xiàn)分別是矩形ABCD的邊AB，CD的中點，G是EF上的一點，將△GAB，△GCD分別沿AB，CD翻折成△G₁AB，△G₂CD，并連接G₁G₂，使得平面G₁AB⊥平面ABCD，G₁G₂∥AD，且G₁G₂＜AD、連接BG₂，如圖2．
（Ⅰ）證明：平面G₁AB⊥平面G₁ADG₂；
（Ⅱ）當AB=12，BC=25，EG=8時，求直線BG₂和平面G₁ADG₂所成的角．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由平面G₁AB⊥平面ABCD，得G₁E⊥平面ABCD，從而G₁E⊥AD、又由AB⊥AD，得出AD⊥平面G₁AB、從而證明平面G₁AB⊥平面G₁ADG₂；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，G₁E⊥平面ABCD、故可以建立以E為原點，分別以直線EB，EF，EG₁為x軸、y軸、z軸空間直角坐標系，先求得各點的坐標，再求得向量的坐標，再由線面角的向量公式求解．

解答：（Ⅰ）證明：因為平面G₁AB⊥平面ABCD，平面G₁AB∩平面ABCD=AB，G₁E⊥AB，G₁E?平面G₁AB，
所以G₁E⊥平面ABCD，從而G₁E⊥AD、又AB⊥AD，
所以AD⊥平面G₁AB、因為AD?平面G₁ADG₂，所以平面G₁AB⊥平面G₁ADG₂、

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知，G₁E⊥平面ABCD、故可以E為原點，分別以直線EB，EF，EG₁
為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系（如圖），
由題設(shè)AB=12，BC=25，EG=8，則EB=6，EF=25，EG₁=8，
相關(guān)各點的坐標分別是A（-6，0，0），D（-6，25，0），G₁（0，0，8），B（6，0，0）．
所以

AD

=(0，25，0)，

AG1

=(6，0，8)．
設(shè)

n

=(x，y，z)是平面G₁ADG₂的一個法向量，
由

n • AD =0 n • AG1 =0.

得

25y=0 6x+8z=0

故可取

n

=(4，0，-3)．
過點G₂作G₂O⊥平面ABCD于點O，因為G₂C=G₂D，所以O(shè)C=OD，
于是點O在y軸上．
因為G₁G₂∥AD，所以G₁G₂∥EF，G₂O=G₁E=8．
設(shè)G₂（0，m，8）（0＜m＜25），由17²=8²+（25-m）²，解得m=10，
所以

BG2

=(0，10，8)-(6，0，0)=(-6，10，8)．
設(shè)BG₂和平面G₁ADG₂所成的角是θ，則sinθ=

| BG2 • n |

| BG2 |•| n |

=

|-24-24|

62+102+82 • 42+32

=

12 2

25

．
故直線BG₂與平面G₁ADG₂所成的角是arcsin

12 2

25

．

點評：本題主要考查線線垂直、線面垂直、面面垂直間的相互轉(zhuǎn)化以及向量法解決空間角問題．