Question

（本小題滿分16分）

（1）求右焦點坐標(biāo)是，且經(jīng)過點的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（2）已知橢圓,設(shè)斜率為的直線交橢圓于兩點，的中點為，證明：當(dāng)直線平行移動時，動點在一條過原點的定直線上.

（3）利用（2）中所揭示的橢圓幾何性質(zhì),用作圖方法找出圖中的定橢圓的中心，簡要寫出作圖步驟，并在圖中標(biāo)出橢圓的中心.

Answer 1

（1）；（2）詳證見解析；（3）作圖步驟見解析.

【解析】

試題分析：（1）先設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)焦點坐標(biāo)可求得，進(jìn)而得到和的關(guān)系，把點代入橢圓方程，求得，進(jìn)而根據(jù)求得，橢圓的方程可得.

（2）設(shè)直線的方程為且橢圓C的交點、，直線方程和橢圓方程聯(lián)立進(jìn)而可得和的表達(dá)式，進(jìn)而可得AB中點M的坐標(biāo)從而可判定AB的中點M在過原點的直線.

（3）作兩條平行直線分別交橢圓于A、B和C、D，并分別取AB、CD的中點M、N，連接直線MN；又作兩條平行直線（與前兩條直線不平行）分別交橢圓于、和、，并分別取、的中點、，連接直線，那么直線和的交點O即為橢圓中心.

試題解析：【解析】
（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，

∴，即橢圓的方程為.

∵點在橢圓上，∴，解得或（舍）

由此得，即橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）設(shè)直線的方程為與橢圓的交點為，則聯(lián)立方程：，得，

即.則，

，中點的坐標(biāo)為。

的中點在過原點的直線上.

（3）作兩條平行直線分別交橢圓于和，并分別取的中點，連接直線；又作兩條平行直線（與前兩條直線不平行）分別交橢圓于和，并分別取的中點，連接直線，那么直線和的交點即為橢圓中心。

考點：（1）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線與圓錐曲線的綜合問題.