Question

12．設(shè)F₁，F(xiàn)₂分別是橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左右焦點，M是C上一點且MF₂與x軸垂直，直線MF₁與C的另一個交點為N．
（Ⅰ）若直線MN的斜率為$\frac{3}{4}$，求C的離心率；
（Ⅱ）若點M到F₁、F₂的距離之和為4，求橢圓C的方程．

Answer 1

分析 （I）把x=c代入橢圓方程可得：$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，取M（c，$\frac{^{2}}{a}$），直線MF₁與C的另一個交點為N，直線MN的斜率$\frac{\frac{^{2}}{a}-0}{c-（-c）}$=$\frac{3}{4}$，且a²=b²+c²，聯(lián)立基礎(chǔ)即可得出．
（II）∵M(jìn)到F₁、F₂的距離之和為4，可得2a=4，又$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，a²=b²+c²，聯(lián)立解得即可得出．

解答 解：（I）把x=c代入橢圓方程可得：$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，解得y=±$\frac{^{2}}{a}$，取M（c，$\frac{^{2}}{a}$），
直線MF₁與C的另一個交點為N，直線MN的斜率$\frac{\frac{^{2}}{a}-0}{c-（-c）}$=$\frac{3}{4}$，且a²=b²+c²，
聯(lián)立解得2e²+3e-2=0，解得e=$\frac{1}{2}$．
（II）∵M(jìn)到F₁、F₂的距離之和為4，∴2a=4，又$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，a²=b²+c²，聯(lián)立解得a=2，c=1，b=$\sqrt{3}$．
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1．

點評 本題考查了橢圓的定義標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、斜率計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．