Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a_n+1=2a_n+n+1，n∈N^*．
（1）若{a_n}是等差數(shù)列，求其首項a₁和公差d；
（2）證明：{a_n}不可能是等比數(shù)列；
（3）若a₁=-1，試比較a_n與（n-2）（n+1）的大小，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）由數(shù)列{a_n}滿足a_n+1=2a_n+n+1，n∈N^*，推導(dǎo)出a₁=-3，a₂=-4，由此能求出d=-1．
（2）假設(shè){a_n}是等比數(shù)列，則a22=a₁a₃，由此推導(dǎo)出a₂a₄≠a₃²，與等比數(shù)列的性質(zhì)相矛盾，從而得到{a_n}不可能是等比數(shù)列．
（3）由{a_n}是等差數(shù)列，首項a₁=-1，公差d=-1，得到a_n=-n．由此利用作差相減法能比較a_n和（n-2）（n+1）的大�。�

解答：解：（1）證明：∵數(shù)列{a_n}滿足a_n+1=2a_n+n+1，n∈N^*，
∴a₂=2a₁+2，
a₃=2a₂+3=4a₁+7，
∴2a₂=a₁+a₃，
∴a₁=-3，a₂=-4，
∴d=-1．
（2）證明：假設(shè){a_n}是等比數(shù)列，則a22=a₁a₃，
∴（2a₁+3）²=a₁（4a₁+7），
∴a₁=-4，a₂=-6，a₃=-9，
又∵a₄=2a₃+4=-14，
∴a₂a₄≠a₃²，與等比數(shù)列的性質(zhì)相矛盾，
∴假設(shè)錯誤．
故{a_n}不可能是等比數(shù)列．
（3）∵{a_n}是等差數(shù)列，首項a₁=-1，公差d=-1，
∴a_n=-1+（n-1）×（-1）=-n．
∴a_n-（n-2）（n+1）=-n-n²+n+2=2-n²，
∴n=1時，a_n-（n-2）（n+1）=2-n²＞0，a_n＞（n-2）（n+1）；
n=2時，a_n-（n-2）（n+1）=2-n²＜0，a_n＜（n-2）（n+1）．

點評：本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時要認(rèn)真審題，注意等價轉(zhuǎn)化思想的合理運用．