Question

10．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且$\frac{sinA}{a}=\frac{{\sqrt{3}cosB}}$．
（1）求角B的大�。�
（2）如果b=2，求△ABC面積的最大值，并判斷此時△ABC的形狀．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理和同角三角函數(shù)的轉換關系求得tanB的值，結合特殊角的三角函數(shù)值求角B的大小；
（2）利用余弦定理列出關系式，把ac與sinB的值代入，并利用基本不等式求出ac的最大值，進而求出三角形面積的最大值，以及此時三角形的形狀．

解答 解：（1）在△ABC中，∵$\frac{sinA}{a}=\frac{{\sqrt{3}cosB}}$，由正弦定理得$\frac{sinA}{sinA}=\frac{{\sqrt{3}cosB}}{sinB}$，
∴$tanB=\sqrt{3}$，
∴$B=\frac{π}{3}$；
（2）$cosB=\frac{{{a^2}+{c^2}-4}}{2ac}=\frac{1}{2}$，
∴a²+c²=ac+4．
又∴a²+c²≥2ac，
∴ac≤4，當且僅當a=c取等號．
∴$S=\frac{1}{2}acsinB≤\sqrt{3}$，
∴${S_{max}}=\sqrt{3}$．
此時△ABC為正三角形．

點評 此題考查了正弦、余弦定理，三角形面積公式，以及基本不等式的運用，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．