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4.若函數(shù)f(x)=sinωx+acosωx(ω>0)的圖象關(guān)于點(diǎn)M({\frac{π}{3},0})對(duì)稱,且在x=\frac{π}{6}處函數(shù)有最小值,則a+ω在[0,10]上的一個(gè)可能值是3.

分析 由函數(shù)解析式結(jié)合對(duì)稱性可得ω=-9-6k,φ=kπ+3π,k∈Z,進(jìn)一步求得a,可得a+ω=-9-6k,k∈Z,則答案可求.

解答 解:∵函數(shù)f(x)=sinωx+acosωx=\sqrt{1+{a}^{2}}(\frac{1}{\sqrt{1+{a}^{2}}}sinωx+\frac{a}{\sqrt{1+{a}^{2}}}cosωx)=\sqrt{1+{a}^{2}}sin(ωx+φ)(tanφ=a)的圖象關(guān)于點(diǎn)M(\frac{π}{3},0)對(duì)稱,
\frac{π}{3}ω+φ=kπ,k∈Z,①
又在x=\frac{π}{6}處函數(shù)有最小值,則\frac{π}{6}ω+φ=\frac{3π}{2}+2kπ,k∈Z,②
聯(lián)立①②得,ω=-9-6k,φ=kπ+3π,k∈Z.
∴a=tan(kπ+3π)=0,
∴a+ω=-9-6k,k∈Z.
又a+ω∈[0,10],∴當(dāng)k=-2時(shí),a+ω=3.
故答案為:3.

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查正余弦函數(shù)的對(duì)稱點(diǎn),對(duì)稱軸與周期間的關(guān)系,即相鄰的對(duì)稱軸及對(duì)稱點(diǎn)之間相差半個(gè)周期等,是中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

12.在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的分別為a,b,c,且acosB=(3c-b)cosA.
(1)若asinB=2\sqrt{2},求b;
(2)若a=2\sqrt{2},且△ABC的面積為\sqrt{2},求△ABC的周長(zhǎng).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

15.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,E′F′兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(0,\sqrt{3}),(0,-\sqrt{3}),動(dòng)點(diǎn)G滿足:直線E′G與直線F′G的斜率之積為-\frac{3}{4}
(1)求動(dòng)點(diǎn)G的軌跡方程;
(2)過點(diǎn)O作兩條互相垂直的射線,與(1)中的軌跡分別交于A,B兩點(diǎn),求△OAB面積的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

12.設(shè)函數(shù)f(x)=x2+3x+3-a•ex(a為非零實(shí)數(shù)),若f(x)有且僅有一個(gè)零點(diǎn),則a的取值范圍為(0,e)∪(3,+∞).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

19.在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊的邊長(zhǎng)分別為a,b,c,且滿足(2c-a)cosB-bcosA=0.
(1)求角B;
(2)若b=2,求a+c的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

9.已知函數(shù)y=3sin(2x+\frac{π}{4}),x∈[0,π]
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
(2)求使函數(shù)取得最大值、最小值時(shí)的自變量x的值,并分別寫出最大值、最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

16.如圖,在邊長(zhǎng)為1的等邊△ABC中D、E分別為AB、AC上的點(diǎn),點(diǎn)A關(guān)于直線DE的對(duì)稱點(diǎn)A1恰好在線段BC上,
(1)∠A1AB=θ∈[0,\frac{π}{3}],用θ表示AD;
(2)求AD長(zhǎng)度的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

13.設(shè)集合A={x||x-1|-|x-5|≤-2},集合B為函數(shù)y=lg(x-1)的定義域,則A∩B=(  )
A.(1,2)B.[1,2]C.[1,2)D.(1,2]

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

14.(1)求復(fù)數(shù)\frac{{{{({1+i})}^2}}}{1-i}的實(shí)部;
(2)已知\frac{m}{1+i}=1-ni(m,n∈R,i是虛數(shù)單位),求m,n.

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同步練習(xí)冊(cè)答案