Question

12．多項(xiàng)式（1+mx）ⁿ+（1+nx）^m（m，n∈N₊）的展開式中，x²項(xiàng)系數(shù)不小于12mn，那么mn的最小值為（　　）

• A． 4
• B． 3
• C． 16
• D． 9

Answer 1

分析 根據(jù)題意，寫出展開式中x²項(xiàng)系數(shù)，列出不等式，再結(jié)合基本不等式，即可求出mn的最小值．

解答 解：多項(xiàng)式（1+mx）ⁿ+（1+nx）^m的展開式中，
x²項(xiàng)系數(shù)為${C}_{n}^{2}$•m²+${C}_{m}^{2}$•n²=$\frac{{{2m}^{2}n}^{2}-{nm}^{2}-{mn}^{2}}{2}$≥12mn，
∴2mn-n-m≥24；
又m+n≥2$\sqrt{mn}$，
∴-（m+n）≤-2$\sqrt{mn}$，
∴2mn-2$\sqrt{mn}$≥24，
即mn-$\sqrt{mn}$-12≥0；
解得$\sqrt{mn}$≥4或$\sqrt{mn}$≤-3（不合題意，舍去）；
∴mn≥16，
即mn的最小值為16．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了不等式的解法與應(yīng)用問題，也考查了組合數(shù)公式的應(yīng)用問題，是綜合性題目．