Question

如圖，在橢圓

x2

a2

+

y2

8

=1（a＞0）中，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，B、D分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，A為橢圓在第一象限內(nèi)的任意一點(diǎn)，直線AF₁交橢圓于另一點(diǎn)C，交y軸于點(diǎn)E，且點(diǎn)F₁、F₂三等分線段BD．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若四邊形EBCF₂為平行四邊形，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（Ⅲ）當(dāng)S△AF1O=S△CEO時(shí)，求直線AC的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（I）由已知得a=3c，b²=8，由此能求出a=3．
（II）由a=3，B（-3，0），F(xiàn)₁（-1，0），得F₁為BF₂的中點(diǎn)，由已知C，E關(guān)于F₁（-1，0）對(duì)稱，設(shè)C（x₀，y₀），則-2-x₀=0，由此能求出點(diǎn)C的坐標(biāo)．
（III）依題意直線AC的斜率存在，設(shè)直線AC：y=k（x+1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

x2 9 + y2 8 =1 y=k(x+1)

，得（8+9k²）x²+18k²x+9（k²-8）=0，由此能求出直線AC的方程．

解答： （本小題滿分13分）
解：（I）∵F₁，F(xiàn)₂三等份BD，
∴|F1F2|=

1

3

|BD|，即2c=

1

3

•2a，a=3c…（1分）
∵a²=b²+c²，b²=8，∴a²=9，
∵a＞0，∴a=3．
（II）由（I）知a=3，B（-3，0），F(xiàn)₁（-1，0），
∴F₁為BF₂的中點(diǎn)，
∵四邊形EBCF₂為平行四邊形，
∴C，E關(guān)于F₁（-1，0）對(duì)稱，
設(shè)C（x₀，y₀），則-2-x₀=0，解得x₀=-2，
∵

x 2 0

9

+

y 2 0

8

=1，∴

4

9

+

y02

8

=1，
解得y₀=±

2 10

3

，
∴C（-2，

2 10

3

）或C（-2，

2 10

3

）．
（III）依題意直線AC的斜率存在，
設(shè)直線AC：y=k（x+1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

x2 9 + y2 8 =1 y=k(x+1)

，得（8+9k²）x²+18k²x+9（k²-8）=0，
x1+x2=-

18k2

8+9k2

，x1x2=

9(k2-8)

8+9k2

，
∵S△AF1O=S△CEO，
∴

1

2

|AF1|h=

1

2

|CE|h，（h表示原點(diǎn)O到直線AC的距離），
∴

1+k2

|x1+1|=

1+k2

|x2|，即|x1+1|=|x2|，
∴x2+x1=-1，…(10分)

∴x1+x2=- 18k2 8+9k2 =-1

，
∴k2=

8

9

，∴k=±

2 2

3

，，∴k=

2 2

3

，
∴直線AC的方程為y=

2 2

3

(x+1)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查a的值的求法，考查點(diǎn)C的坐標(biāo)的求法，考查直線AC的方程的求法，解題時(shí)要注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．