Question

【題目】已知數(shù)列{an}中，a1=3，a2=5，其前n項(xiàng)和為Sn滿足Sn+Sn﹣2=2Sn﹣1+2n﹣1（n≥3，n∈N*）
（1）試求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式
（2）令bn= ，Tn是數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和．證明：對(duì)任意給定的m∈（0， ），均存在n0∈N*，使得當(dāng)n≥n0時(shí)，Tn＞m恒成立．

Answer 1

【答案】
（1）解：由Sn+Sn﹣2=2Sn﹣1+2n﹣1（n≥3，n∈N*），整理得：Sn﹣Sn﹣1=Sn﹣1﹣Sn﹣2+2n﹣1，

∴an=an﹣1=2n﹣1，即an﹣an﹣1=2n﹣1，n≥3，

∵a2﹣a1=2，

a3﹣a2=4，

a4﹣a3=23，

…

an﹣an﹣1=2n﹣1，

將上式累加整理得：an﹣a1=2+4+23+…+2n﹣1，

∴an= +3=2n+1，

數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=2n+1；

（2）證明： bn= = = （ ﹣ ），

∴數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn=b1+b2+b3+…+bn，

= [（ ﹣ ）+（ ﹣ ）+…+（ ﹣ ）]，

= （ ﹣ ），

Tn+1﹣Tn= ＞0，

∴Tn隨著n的增大而增大，

若Tn＞m，則 （ ﹣ ）＞m，化簡(jiǎn)整理得： ＞ ，

∵m∈（0， ），

∴1﹣6m＞0，

∴2n+1＞ ﹣1，

n＞log2（ ﹣1）﹣1，

當(dāng)log2（ ﹣1）﹣1＜1時(shí)，即0＜m＜ ，取n0=1，

當(dāng)log2（ ﹣1）﹣1≥1時(shí)，解得： ≤m＜ ，記log2（ ﹣1）﹣1的整數(shù)部分為p，

取n0=p+1即可，

綜上可知，對(duì)任意m∈（0， ），均存在n0∈N*，使得當(dāng)n≥n0時(shí)，Tn＞m恒成立

【解析】（1）由題意可知Sn﹣Sn﹣1=Sn﹣1﹣Sn﹣2+2n﹣1 ， 即an﹣an﹣1=2n﹣1 ， n≥3，采用“累加法”即可求得數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）由（1）可知，bn= = = （ ﹣ ），采用“裂項(xiàng)法”即可求得數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn ， 由函數(shù)的單調(diào)性可知，Tn隨著n的增大而增大，分離參數(shù)n＞log2（ ﹣1）﹣1，分類log2（ ﹣1）﹣1＜1及l(fā)og2（ ﹣1）﹣1≥1時(shí)，求得m的取值范圍，求得n0的值，即可證明存在n0∈N*，使得當(dāng)n≥n0時(shí)，Tn＞m恒成立．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了數(shù)列的前n項(xiàng)和和數(shù)列的通項(xiàng)公式的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系；如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式才能正確解答此題．