Question

已知函數，，且函數在點處的切線方程為.

（Ⅰ）求函數的解析式；

（Ⅱ）設點，當時，直線的斜率恒小于，試求實數的取值范圍；

（Ⅲ）證明：.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）詳見解析.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）根據函數在點處的切線方程為，這一條件分離出兩個條件，然后根據這兩個條件列有關和的二元一次方程組，解出和的值進而確定函數的解析式；（Ⅱ）先將直線的斜率利用點的坐標表示，然后建立以為自變量的函數，對參數進行分類討論，即可求出參數的取值范圍；（Ⅲ）證明不等式，構造函數

，等價轉化為，借助極小值，但同時需要注意有些時候相應整體的代換.

試題解析：（Ⅰ），.   1分

函數在點處的切線方程為，

  即， 解得，    2分

.      3分

（Ⅱ）由、，得，

∴“當時，直線的斜率恒小于”當時，恒成立對恒成立.    4分

令，.

則，    5分

（�。┊�時，由，知恒成立，

∴在單調遞增，

∴，不滿足題意的要求.    6分

（ⅱ）當時，，，

，

∴當  ，；當，.

即在單調遞增；在單調遞減.

所以存在使得，不滿足題意要求.   7分

（ⅲ）當時，，對于，恒成立，

∴在單調遞減，恒有，滿足題意要求. 8分

綜上所述：當時，直線的斜率恒小于.    9分

（Ⅲ）證明：令，

則， 10分

，

函數在遞增，在上的零點最多一個.11分

又，，

存在唯一的使得，    12分

且當時，；當時，.

即當時，；當時，.

在遞減，在遞增，

從而.     13分

由得且，，

，從而證得.      14分

考點：函數與導數、函數的零點