Question

已知f(x)是二次函數(shù)，不等式f(x)＜0的解集是(0,5)且f(x)在區(qū)間［-1,4］上的最大值是12.

(1)求f(x)的解析式；

(2)是否存在實數(shù)m,使得方程f(x)+=0在區(qū)間(m,m+1)內有且只有兩個不等的實數(shù)根？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，說明理由.

Answer 1

思路分析：將二次函數(shù)的圖象（拋物線）與相應的一元二次方程、一元二次不等式聯(lián)系起來分析是問題(1)得以解決的法寶；從題設的二次函數(shù)的圖象（拋物線）的幾何特征，可知拋物線的對稱軸為x=，且通過(-1,12)點，進而求出該函數(shù)的表示式；是否存在唯一的自然數(shù)m=3，使得方程h（x）=2x³-10x²+37=0在區(qū)間（m，m+1）內有且只有兩個不同的實數(shù)根.

解：（1）f（x）=-x²+8x=-（x-4）²+16.

當t+1＜4即t＜3時，f（x）在［t，t+1］上單調遞增，

h（t）=f（t+1）=-（t+1）²+8（t+1）=-t²+6t+7；

當t≤4≤t+1，即3≤t≤4時，h（t）=f（4）=16；

當t＞4時，f（x）在［t，t+1］上單調遞減，h（t）=f（t）=-t²+8t.

綜上，h（t）=

（2）函數(shù)y=f（x）的圖象與y=g（x）的圖象有且只有三個不同的交點，即函數(shù)

φ(x)=g(x)-f(x)的圖象與x軸的正半軸有且只有三個不同的交點.

Qφ(x)=x²-8x+6lnx+m,

∴φ′(x)=2x-8+（x＞0）.

當x∈（0，1）時，φ′(x)＞0,φ(x)是增函數(shù)；

當x∈(0,3)時，φ′(x)＜0,φ(x)是減函數(shù)；

當x∈(3,+∞)時，φ′(x)＞0,φ(x)是增函數(shù)；

當x=1或x=3時，φ′(x)=0.

φ(x)_最大值=φ(1)=m-7，φ(x)_最小值=φ(3)=m+6ln3-15.

Q當x充分接近0時，φ(x)＜0，當x充分大時，φ(x)＞0

要使φ(x)的圖象與x軸正半軸有三個不同的交點，必須且只須

即7＜m＜15-6ln3.

所以存在實數(shù)m，使得函數(shù)y=f(x)與y=g(x)的圖象有且只有三個不同的交點，m的取值范圍為(7,15-6ln3).