Question

已知函數(shù)f（x）=9^x+a•3^x（a≤-2）
（1）若f（1）=0，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）當(dāng)0≤x≤1，求f（x）的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用,函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）直接利用已知條件結(jié)合f（1）=0，即可求實(shí)數(shù)a的值；
（2）利用換元法化簡函數(shù)為閉區(qū)間上的二次函數(shù)，求出函數(shù)的對(duì)稱軸，討論對(duì)稱軸的數(shù)值是否在區(qū)間內(nèi)，即可求解當(dāng)0≤x≤1，求f（x）的最小值．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=9^x+a•3^x（a≤-2）f（1）=0，
∴9+3a=0，∴a=-3．            …（4分）
（2）f（x）=（3^x）²+a•3^x．
令 3^x=t，則1≤t≤3，g（t）=t²+at，對(duì)稱軸 t=-

a

2

≥1． …（6分）
i）當(dāng)1≤-

a

2

≤3，即-6≤a≤-2 時(shí)，
y （t）|_min=g （-

a

2

）=-

a2

4

，此時(shí)x=log3(-

a

2

)．
ii）當(dāng)-

a

2

＞3，即a＜-6時(shí)，g （t） 在[1，3]上單調(diào)遞減，
∴g （t）|_min=g（3）=3a+9，此時(shí)x=1．                       …（10分）
綜上所述，當(dāng)a＜-6時(shí)，f（x）|_min=3a+9；
當(dāng)-6≤a≤-2時(shí)，f（x）|_min=-

a2

4

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查換元法以及二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)數(shù)變量．