Question

若不等式|x-a|-|x|＜2-a²對(duì)x∈R恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：絕對(duì)值不等式的解法

專題：不等式

分析：把2-a²看作一個(gè)參數(shù)，只需2-a²大于|x-a|-|x|的最大值．用a表示|x-a|-|x|的最大值，于是得到一個(gè)關(guān)于a的不等式，解此不等式即可．

解答： 解：∵不等式|x-a|-|x|＜2-a²對(duì)x∈R恒成立，
∴2-a²大于|x-a|-|x|的最大值，
根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義，
|x-a|表示數(shù)軸上的數(shù)x到a距離，|x|表示數(shù)軸上的數(shù)x到原點(diǎn)的距離，
∴|x-a|-|x|的最大值為|a-0|即|a|，
∴2-a²＞|a|，即|a|²+|a|-2＜0，得（|a|+2）（|a|-1）＜0，
解得0≤|a|＜1，∴-1＜a＜1．
故答案為：（-1，1）．

點(diǎn)評(píng)：本題屬于不等式恒成立問(wèn)題，有如下常見(jiàn)套路：
（1）若對(duì)x∈D，不等式a≥f（x）恒成立，則a≥[f（x）]_max；
（2）若對(duì)x∈D，不等式a≤f（x）恒成立，則a≤[f（x）]_min．
注：原不等中是否含有等于號(hào)，f（x）是否有最值，這都可能會(huì)影響到a能否取等號(hào)，對(duì)具體問(wèn)題應(yīng)具體分析，不能照搬套路．