設函數(shù)y=f（x）是定義在R上的函數(shù)，并且滿足下面三個條件；
①對任意正數(shù)x，y，都有f（xy）=f（x）+f（y）；
②當x＞1時，f（x）＜0；
③f（3）=-1．
（Ⅰ）求f(1)，f(
19
)的值；
（Ⅱ）證明f（x）在R+是減函數(shù)；
（Ⅲ）如果不等式f（x）+f（2-x）＜2成立，求x的取值范圍．
分析：（Ⅰ）求f(1)，f(
1
9
)的值；令x=y=1代入f（xy）=f（x）+f（y）即可求得f（1）．同理求出f（9）后，令x=9，xy=1，代入等式即可求得答案；
（Ⅱ）證明f（x）在R+是減函數(shù)；取定義域中的任意的x1，x2，且0＜x1＜x2然后根據(jù)關系式f（xy）=f（x）+f（y），證明f（x1）＞f（x2）即可；
（Ⅲ）如果不等式f（x）+f（2-x）＜2成立，求x的取值范圍，由（Ⅰ）的結果得：f[x(2-x)]＜f(
1
9
)，其中0＜x＜2，再根據(jù)單調性，列出不等式．解出取值范圍即可．
解答：解：（Ⅰ）令x=y=1易得f（1）=0，
而f（9）=f（3）+f（3）=-1-1=-2，
且f(9)+f(
1
9
)=f(1)=0，得f(
1
9
)=2.
（Ⅱ）取定義域中的任意的x1，x2
且0＜x1＜x2?
x2
x1
＞1 ?f(
x2
x1
)＜0
∴f(x2)=f(
x2
x1
•x1)=f(
x2
x1
)+f(x1)＜f(x1)
∴f（x）在R+上為減函數(shù)．
（Ⅲ）由條件（1）及（Ⅰ）的結果得：f[x(2-x)]＜f(
1
9
)，其中0＜x＜2，
由可（Ⅱ）得：
x(2-x)＞
1
9
0＜x＜2

解得x的范圍是(1-
2
2
3
，1+
2
2
3
)．
點評：此題主要考查抽象函數(shù)的一系列問題．其中涉及到函數(shù)單調性的證明，函數(shù)值的求解問題．屬于綜合性問題，涵蓋知識點較多，屬于中檔題目．
練習冊系列答案
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設函數(shù)y=f （x）是定義域為R的奇函數(shù)，且滿足f （x-2）=-f （x）對一切x∈R恒成立，當-1≤x≤1時，f （x）=x3，則下列四個命題：
①f（x）是以4為周期的周期函數(shù)．
②f（x）在[1，3]上的解析式為f （x）=（2-x）3．
③f（x）在(
3
2
，f(
3
2
))處的切線方程為3x+4y-5=0．
④f（x）的圖象的對稱軸中，有x=±1，其中正確的命題是（　　）
A、①②③B、②③④
C、①③④D、①②③④

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)y=f（x）是定義在（0，+∞）上的函數(shù)，并且滿足下面三個條件：
①對正數(shù)x、y都有f（xy）=f（x）+f（y）；
②當x＞1時，f（x）＜0；
③f（3）=-1
（I）求f（1）和f(
19
)的值；
（II）如果不等式f（x）+f（2-x）＜2成立，求x的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)y=f（x）是定義在R上以1為周期的函數(shù)，若g（x）=f（x）-2x在區(qū)間[2，3]上的值域為[-2，6]，則函數(shù)g（x）在[-12，12]上的值域為（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)y=f（x）是定義在正實數(shù)上的增函數(shù)，且f（xy）=f（x）+f（y），
（1）求證：f（
xy
）=f（x）-f（y）；
（2）若f（3）=1，f（a）＞f（a-1）+2，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且f（x-2）=-f（x）對一切x∈R都成立，又當x∈[-1，1]時，f（x）=x3，則下列五個命題：
①函數(shù)y=f（x）是以4為周期的周期函數(shù)；
②當x∈[1，3]時，f（x）=（ x-2）3；
③直線x=±1是函數(shù)y=f（x）圖象的對稱軸；
④點（2，0）是函數(shù)y=f（x）圖象的對稱中心；
⑤函數(shù)y=f（x）在點（
3
2
，f（
3
2
））處的切線方程為3x-y-5=0．
其中正確的是
①③
①③
．（寫出所有正確命題的序號）

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