Question

【題目】已知橢圓C的方程是 =1（a＞b＞0），其右焦點F到橢圓C的其中三個頂點的距離按一定順序構(gòu)成以 為公差的等差數(shù)列，且該數(shù)列的三項之和等于6．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若直線AB與橢圓C交于點A，B（A在第一象限），滿足2 ，當△0AB面積最大時，求直線AB的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵右焦點F到橢圓C的其中三個頂點的距離按一定順序構(gòu)成以 為公差的等差數(shù)列，

∴此三項分別為：a﹣c，a，a+c，且a=a﹣c+ ，

可得：c= ，

又該數(shù)列的三項之和等于6，

∴3a=6，解得a=2，

∴b2=a2﹣c2=1．

∴橢圓C的方程為： +y2=1

（2）解：設(shè)直線AB的方程為：my=x+t，A（x1，y1），B（x2，y2）．

聯(lián)立 ，化為：（4+m2）y2﹣2mty+t2﹣4=0，（*）

△＞0，可得4+m2＞t2．

∴y1+y2= ，y1y2= ．

∵滿足2 ，

∴2y1+y2=0．

∴y1= ，y2= ．

∴ = ．

∴8m2t2=（4﹣t2）（4+m2）．

|y1﹣y2|= = ．

∴S△OAB= |t|= ≤2× × =1，當且僅當4+m2=2t2時取等號．

聯(lián)立8m2t2=（4﹣t2）（4+m2），4+m2=2t2．

解得：t2= ，m2= ．

∴直線AB的方程為： y=x±

【解析】（1）由于右焦點F到橢圓C的其中三個頂點的距離按一定順序構(gòu)成以 為公差的等差數(shù)列，可得此三項分別為：a﹣c，a，a+c，且a=a﹣c+ ，
可得：c，又該數(shù)列的三項之和等于6，可得3a=6，b2=a2﹣c2 ． 解出即可得出．（2）設(shè)直線AB的方程為：my=x+t，A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）．與橢圓方程聯(lián)立化為：（4+m2）y2﹣2mty+t2﹣4=0，△＞0，利用根與系數(shù)的關(guān)系及其2 ，即2y1+y2=0．可得8m2t2=（4﹣t2）（4+m2）．利用S△OAB= |t|= 及其基本不等式的性質(zhì)可得：4+m2=2t2 ． 聯(lián)立解出即可得出．