在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是CD、A1D1中點(diǎn)．

(1)求證：AB1⊥BF；

(2)求證：AE⊥BF；

(3)棱CC1上是否存在點(diǎn)F，使BF⊥平面AEP，若存在，確定點(diǎn)P的位置；若不存在，說明理由．

 

（1）見解析（2）見解析（3）P是CC1的中點(diǎn)．

【解析】(1)證明：連結(jié)A1B，CD1，∵AB1⊥A1B，AB1⊥BC，A1B∩BC＝B，

∴AB1⊥平面A1BCD1，又BF平面A1BCD1，所以AB1⊥BF.

(2)證明：取AD中點(diǎn)M，連結(jié)FM，BM，∴AE⊥BM，

又∵FM⊥AE，BM∩FM＝M，∴AE⊥平面BFM，又BF平面BFM，∴AE⊥BF.

(3)【解析】
存在，P是CC1的中點(diǎn)．易證PE∥AB1，故A、B1、E、P四點(diǎn)共面．

由(1)(2)知AB1⊥BF，AE⊥BF，AB1∩AE＝A，∴BF⊥平面AEB1，即BF⊥平面AEP.

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

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如圖甲，在平面四邊形ABCD中，已知∠A＝45°，∠C＝90°，∠ADC＝105°，AB＝BD，現(xiàn)將四邊形ABCD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BDC(如圖乙)，設(shè)點(diǎn)E、F分別為棱AC、AD的中點(diǎn)．

(1)求證：DC⊥平面ABC；

(2)求BF與平面ABC所成角的正弦值；

(3)求二面角B－EF－A的余弦值．

 

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如圖，AB、CD均為圓O的直徑，CE⊥圓O所在的平面，BF∥CE.求證：

(1)平面BCEF⊥平面ACE；

(2)直線DF∥平面ACE.

 

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已知α、β、γ是三個(gè)不同的平面，命題“α∥β，且α⊥γβ⊥γ”是真命題，如果把α、β、γ中的任意兩個(gè)換成直線，另一個(gè)保持不變，在所得的所有新命題中，真命題的個(gè)數(shù)是________．

 

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如圖，在錐體PABCD中，ABCD是邊長為1的菱形，且∠DAB＝60°，PA＝PD＝，PB＝2，E、F分別是BC、PC的中點(diǎn)．證明：AD⊥平面DEF.

 

 

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如圖，在四棱錐PABCD中，PD⊥底面ABCD，AD⊥AB，CD∥AB，AB＝AD＝2，CD＝3，直線PA與底面ABCD所成角為60°，點(diǎn)M、N分別是PA、PB的中點(diǎn)．求證：

(1)MN∥平面PCD；

(2)四邊形MNCD是直角梯形；

(3)DN⊥平面PCB.

 

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正三棱柱ABCA1B1C1中，已知AB＝A1A，D為C1C的中點(diǎn)，O為A1B與AB1的交點(diǎn)．

(1)求證：AB1⊥平面A1BD；

(2)若點(diǎn)E為AO的中點(diǎn)，求證：EC∥平面A1BD.

 

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如圖，在四面體ABCD中作截面PQR，若PQ、CB的延長線交于M，RQ、DB的延長線交于N，RP、DC的延長線交于K.

求證：M、N、K三點(diǎn)共線．

 

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已知公差不為0的等差數(shù)列{an}滿足a1，a3，a9成等比數(shù)列，Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則＝________．

 

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