Question

如圖，圓柱的軸截面ABCD是正方形，點(diǎn)E在底面圓周上，點(diǎn)F在DE上，且AF⊥DE，若圓柱的側(cè)面積與△ABE的面積之比等于4π． 
（Ⅰ）求證：AF⊥BD；
（Ⅱ）求二面角A-BD-E的正弦值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）欲證BE⊥AF，而AF?平面ADE，可先證BE⊥平面ADE，根據(jù)直線(xiàn)與平面垂直的判定定理可知只需證BE與平面ADE內(nèi)兩相交直線(xiàn)垂直，根據(jù)線(xiàn)面垂直的性質(zhì)可知BE⊥AF，又AF⊥DE，滿(mǎn)足定理所需條件；
（Ⅱ）取BD的中點(diǎn)M，連接AM，F(xiàn)M，根據(jù)二面角平面角的定義可知∠AMF為二面角A-BD-E的平面角，過(guò)點(diǎn)E作EO⊥AB，垂足為O，在Rt△AFM中，求出此角的正弦值即可求出所求．
解答：解：（Ⅰ）因?yàn)锳D⊥平面ABE，所以AD⊥BE．（1分）
又AE⊥BE，AD∩AE=A，所以BE⊥平面ADE．（2分）
因?yàn)锳F?平面ADE，所以BE⊥AF．（3分）
又AF⊥DE，所以AF⊥平面BDE，故AF⊥BD．（4分）

（Ⅱ）取BD的中點(diǎn)M，連接AM，F(xiàn)M．
因?yàn)锳B=AD，則AM⊥BD．因?yàn)锳F⊥平面BDE，則AF⊥BD．
所以BD⊥平面AFM，從而FM⊥BD，所以∠AMF為二面角A-BD-E的平面角．（6分）
過(guò)點(diǎn)E作EO⊥AB，垂足為O．
設(shè)圓柱的底半徑為r，因?yàn)閳A柱的軸截面ABCD是正方形，
則圓柱的母線(xiàn)長(zhǎng)為2r，所以其側(cè)面積為2πr•2r=4πr²，
又△ABE的面積為．
由已知，，則OE=r，
所以點(diǎn)O為圓柱底面圓的圓心．（8分）
在Rt△AOE中，．
在Rt△DAE中，，．（10分）
又，在Rt△AFM中，．
故二面角A-BD-E的正弦值為．（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線(xiàn)與平面垂直的性質(zhì)，以及二面角的度量等有關(guān)知識(shí)，考查空間想象能力和思維能力，計(jì)算能力，以及轉(zhuǎn)化與劃歸的思想，屬于中檔題．