Question

如圖，四邊形ABCD為菱形，ACFE為平行四邊形，且面ACFE⊥面ABCD，AB=BD=2，AE=

3

，設(shè)BD與AC相交于點(diǎn)G，H為FG的中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：CH⊥面BFE；
（Ⅱ）若AE與面ABCD所成的角為60°，求二面角B-EF-D的平面角余弦值的大�。�

Answer 1

考點(diǎn)：直線(xiàn)與平面垂直的判定,二面角的平面角及求法

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）充分利用已知得到BD⊥平面ACFE，利用線(xiàn)面垂直的性質(zhì)得到BD⊥CH，由等腰三角形的三線(xiàn)合一得到CH⊥FG，利用線(xiàn)面垂直的判定定理可證；
（Ⅱ）由平面ACFE⊥平面ABCD，得到∠EAC為AE與平面ABCD所成的角，進(jìn)一步得到∠BMD為二面角B-EF-D的平面角，然后計(jì)算可得．

解答： （Ⅰ）證明：∵四邊形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC又∵平面ACFE⊥平面ABCD，
∴BD⊥平面ACFE，∴BD⊥CH，
又∵H為FG的中點(diǎn)，CG=CF=

3

∴CH⊥FG又∵FG∩BD=G，
∴CH⊥平面BFD；
（Ⅱ）解：∵平面ACFE⊥平面ABCD，
∴E在平面ABCD內(nèi)的射影落在AC上，
則∠EAC為AE與平面ABCD所成的角，∠EAC=60°，
過(guò)G作EF的垂線(xiàn)，垂足為M，連接MB，MD，MG，如圖

由（Ⅰ）得AC⊥平面BMD，∴EF⊥平面BMD，
∴∠BMD為二面角B-EF-D的平面角，
MG=

3

2

，BD=2，BG=1，BM=DM=

13

2

，
所以由余弦定理可得cos∠DMB=

5

13

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了線(xiàn)面垂直的判定定理的運(yùn)用以及空間角的求法，關(guān)鍵是將空間角轉(zhuǎn)化為平面角的問(wèn)題解答，屬于中檔題