試題分析:(I)求導,并判斷導數的符號確定函數的單調區(qū)間和極值、最值,即可求得結果;
(Ⅱ)通過函數的導數,利用函數的單調性,半徑兩個函數的大小關系即可.
(Ⅲ)利用(Ⅰ)的結論,轉化不等式,求解即可.
解:(Ⅰ)由題設知f(x)=lnx,g(x)=lnx+
,
∴g'(x)=
,令g′(x)=0得x=1,
當x∈(0,1)時,g′(x)<0,故(0,1)是g(x)的單調減區(qū)間.
當x∈(1,+∞)時,g′(x)>0,故(1,+∞)是g(x)的單調遞增區(qū)間,
因此,x=1是g(x)的唯一值點,且為極小值點,
從而是最小值點,所以最小值為g(1)=1.
(II)
設
,則h'(x)=﹣
,
當x=1時,h(1)=0,即
,
當x∈(0,1)∪(1,+∞)時,h′(1)=0,
因此,h(x)在(0,+∞)內單調遞減,
當0<x<1時,h(x)>h(1)=0,即
,
當x>1時,h(x)<h(1)=0,即
.
(III)由(I)知g(x)的最小值為1,
所以,g(a)﹣g(x)<
,對任意x>0,成立?g(a)﹣1<
,
即Ina<1,從而得0<a<e.
點評:此題是個難題.主要考查導數等基礎知識,考查推理論證能力和、運算求解能力,考查函數與方程思想,數形結合思想,化歸和轉化思想,分類與整合思想.其考查了同學們觀察、推理以及創(chuàng)造性地分析問題、解決問題的能力.