Question

已知雙曲線的左、右焦點分別是F₁、F₂，點B（0，b），若△BF₁F₂的外接圓圓心到雙曲線漸近線的距離為，則雙曲線的離心率為

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   2
4. D.
   2

Answer 1

C
分析：設(shè)△BF₁F₂的外接圓的圓心為C（0，m），根據(jù)|CB|=|CF₁|和點C（0，m）雙曲線漸近線的距離為，聯(lián)列方程組并解之可得m=-，b=，最后根據(jù)雙曲線的平方關(guān)系和離心率的定義可算出本題的答案．
解答：根據(jù)雙曲線的對稱性，得△BF₁F₂的外接圓圓心C在y軸上，
設(shè)C（0，m），得|CB|=|CF₁|
∴b-m==…①
又∵點C（0，m）雙曲線漸近線的距離為，
∴=…②
聯(lián)解①②，得m=-，b=（因為b＞0，舍去另一組解）
∴雙曲線方程為，得c==2
由此可得：雙曲線的離心率e==2
故選：C
點評：本題給出經(jīng)過雙曲線兩個焦點和虛軸一端的圓，在已知圓心到漸近線的距離情況下求雙曲線的離心率，著重考查了雙曲線的簡單性質(zhì)、直線與圓的位置關(guān)系等知識點，屬于中檔題．