Question

設(shè)S_n是數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，若a₁=3，a_na_n+1=(

1

2

)n（n∈N^*），則S₂₀₁₀=

19

3

[1-(

1

2

)1005]

．

Answer 1

分析：由a₁=1，a_na_n+1=2ⁿ，令n=1，求得a₂的值，a_na_n+1=(

1

2

)n，得a_na_n-1=（

1

2

）^n-1（n≥2）將兩式相比，即得

an+1

an-1

=

1

2

，
從而求得數(shù)列{a_n}的奇數(shù)項(xiàng)成等比數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)成等比數(shù)列，故求數(shù)列{a_n}通項(xiàng)，然后利用分組求和法和等比數(shù)列的求和公式求出S₂₀₁₀即可．

解答：解：∵a₁=3，a_na_n+1=(

1

2

)n
∴令n=1可求出a₂=

1

6

∵a_na_n+1=（

1

2

）ⁿ
∴a_na_n-1=（

1

2

）^n-1（n≥2）；
兩式相比，得

an+1

an-1

=

1

2

，
∴數(shù)列{a_n}的奇數(shù)項(xiàng)成首項(xiàng)為3，公比為

1

2

的等比數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)成首項(xiàng)為

1

6

，公比為

1

2

的等比數(shù)列
∴a_n=3×(

1

2

)

n-1

2

，n為奇數(shù)；a_n=

1

6

×(

1

2

)

n-2

2

，n為偶數(shù)；
S₂₀₁₀=（a₁+a₃+a₅+…+a₂₀₀₉）+（a₂+a₄+a₆+…a₂₀₁₀）
=（3+3×

1

2

+3×(

1

2

)2+…+3×(

1

2

)1004）+（

1

6

+

1

6

×

1

2

+

1

6

×(

1

2

)2+…+

1

6

×(

1

2

)1004）
=（3+

1

6

）（1+

1

2

+(

1

2

)2+…+(

1

2

)1004）
=

19

6

×

1-( 1 2 ) 1005

1- 1 2

=

19

3

[1-(

1

2

)1005]
故答案為：

19

3

[1-(

1

2

)1005]

點(diǎn)評：本題主要考查了等比數(shù)列的求和，以及通項(xiàng)公式，同時(shí)考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，以及分組求和法的應(yīng)用，屬于中檔題．