Question

設函數f（x）對任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0時，f（x）＜0，f（1）=-2．
（1）求f（0）；
（2）求證：f（x）是奇函數；
（3）請寫出一個符合條件的函數；
（4）證明f（x）在R上是減函數，并求當-3≤x≤3時，f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）取x=0代入題中關系式，化簡即得f（0）=0；
（2）令y=-x，得f（0）=f（-x+x）=f（x）+f（-x）=0，從而f（-x）=-f（x），得出f（x）是奇函數；
（3）根據函數為奇函數且滿足一次線性關系，結合題中條件可得符合題意的一個函數為y=-2x；
（4）根據題中條件利用函數單調性的定義，證出當x₁＜x₂時f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁）＜0，可得f（x₁）＞f（x₂）成立，因此函數f（x）在R上是減函數．由此在-3≤x≤3時加以計算，結合f（1）=-2和函數為奇函數，即可算出f（x）的最大值和最小值．

解答：解：（1）令x=0，則f（0+y）=f（0）+f（y），∴f（0）=0------------------（2分）
（2）令y=-x，則f（0）=f（-x+x）=f（x）+f（-x）=0，-----------------（3分）
移項得f（-x）=-f（x），
可得f（x）是其定義域上的奇函數--------------------（4分）
（3）根據函數的性質，可得函數為奇函數且滿足一次線性關系：f（x+y）=f（x）+f（y），
又∵x＞0時，f（x）＜0，f（1）=-2．
∴滿足條件的一個函數為y=-2x（答案不唯一）------------------（6分）
（4）設x₁＜x₂，則
f（x₂）=f[x₁+（x₂-x₁）]=f（x₁）+f（x₂-x₁）
∵當x＞0時，f（x）＜0，∴由x₂-x₁＞0，可得f（x₂-x₁）＜0
因此f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁）＜0，可得f（x₁）＞f（x₂）
∴函數f（x）在R上是減函數．---------（9分）
若-3≤x≤3，可得f（x）在區(qū)間[-3，3]上是減函數
故x=-3時，f（x）有最大值，x=3，f（x）有最小值
又∵f（1）=-2，
∴f（3）=f（2）+f（1）=f（1）+f（1）+f（1）=-6-----（11分）
∵f（x）是奇函數，∴f（-3）=-f（3）=6
∴當-3≤x≤3時，f（x）的最大值為6，最小值為-6．----------（12分）

點評：本題給出抽象函數滿足的條件，求函數的奇偶性、單調性和閉區(qū)間上的最值．著重考查了函數定義和函數的簡單性質等知識，屬于中檔題．