Question

已知：函數(shù)f_n（x）（n∈N^*）的定義域?yàn)椋?∞，0）∪（0，+∞），其中，并且當(dāng)n＞1且n∈N^*時(shí)，滿足．
（1）求函數(shù)f_n（x）（n∈N^*）的解析式；
（2）當(dāng)n=1，2，3時(shí)，分別研究函數(shù)f_n（x）的單調(diào)性與值域；
（3）借助（2）的研究過程或研究結(jié)論，提出一個(gè)類似（2）的研究問題，并寫出問題的研究過程與研究結(jié)論．
【第（3）小題將根據(jù)你所提出問題的質(zhì)量，以及解決所提出問題的情況進(jìn)行分層評(píng)分】

Answer 1

【答案】分析：（1）利用累加法直接求函數(shù)f_n（x）（n∈N^*）的解析式；
（2）當(dāng)n=1當(dāng)n=1，2，3時(shí)，分別利用雙勾函數(shù)，平方，求出函數(shù)f₁（x），f₂（x），f₃（x）的單調(diào)性與值域；
（3）借助（2）的研究過程或研究結(jié)論，求出第一類，結(jié)論一：f₄（x）單調(diào)性與值域；結(jié)論二：f₅（x）的單調(diào)性與值域；第二類問題，結(jié)論三、當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)f_n（x）的單調(diào)性與值域；結(jié)論四、當(dāng)x＜0且n為奇數(shù)時(shí)，結(jié)論五、當(dāng)x＜0且n為偶數(shù)時(shí)，函數(shù)f_n（x）的單調(diào)性與值域；通過數(shù)列求和，利用函數(shù)的單調(diào)性的定義證明即可…
解答：解：（1）由于；                           （2分）
所以；                  （4分）
（2）（每小題結(jié)論正確（1分），證明（1分），共6分）
當(dāng)n=1時(shí)，，易證函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-1），（1，+∞）；
單調(diào)遞減區(qū)間為（-1，0），（0，1）；值域?yàn)椋?∞，-1]∪[3，+∞）
當(dāng)n=2時(shí)，，易證函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（-1，0），（1，+∞；單位遞減區(qū)間為（-∞，-1），（0，1）；因此函數(shù)在（-∞，0）值域?yàn)閇f₂（-1），+∞），在（0，+∞）上值域?yàn)閇5，+∞）
因此函數(shù)值域?yàn)閇1，+∞）
當(dāng)n=3時(shí)，+=f₂（x）+
易證f₂（x）、，在（0，1）單調(diào)遞減，在（1，+∞）單調(diào)遞增，
所以+在（0，1）單調(diào)遞減，在（1，+∞）單調(diào)遞增．
由于=，用定義易證在（-∞，-1）單調(diào)遞增，在（-1，0）上單調(diào)遞減．的值域?yàn)椋?∞，-1]∪[7，+∞）
（3）以下給出若干解答供參考，評(píng)分方法參考本小題閱卷說明：
第一類問題
結(jié)論一、單調(diào)遞增區(qū)間為（-1，0），（1，+∞）單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，-1），（0，1）；值域?yàn)閇1，+∞）；
結(jié)論二、單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-1），（1，+∞）
；單調(diào)遞減區(qū)間為（0，1），（-1，0），值域?yàn)椋?∞，-1]∪[11，+∞）
 解法及評(píng)分說明：解法與類同，結(jié)論分2分，證明正確得2分，共4分；
第二類問題
結(jié)論三、當(dāng)x＞0時(shí)，
在（0，1）單調(diào)遞減，在（1，+∞）單調(diào)遞增，值域?yàn)閇2n+1，+∞）
 結(jié)論四、當(dāng)x＜0且n為奇數(shù)時(shí)，在（-1，0）單調(diào)遞減，在（-∞，-1）單調(diào)遞增；值域?yàn)椋?∞，-1]；
結(jié)論五、當(dāng)x＜0且n為偶數(shù)時(shí)，在（-∞，-1）單調(diào)遞減，在（-1，0）單調(diào)遞增；值域?yàn)閇1，+∞）；
解法及評(píng)分說明：結(jié)論三的單調(diào)性證明可以用數(shù)學(xué)歸納法完成；即；x＞0時(shí)．
①當(dāng)n=1時(shí)，，用定義易證函數(shù)在（0，1）單調(diào)遞減；在（1，+∞）上單調(diào)遞增；計(jì)算得值域?yàn)椋?∞，-1]∪[3，+∞）
 ②設(shè)函數(shù)（n∈N^*）在（0，1）單調(diào)遞減；在（1，+∞）
上單調(diào)遞增；計(jì)算得值域?yàn)閇2n+1，+∞）
 則f_n+1（x）=f_n（x）+，對(duì)于任意0＜x₁＜x₂，f_n+1（x₂）-f_n+1（x₁） 
= 
=，易證函數(shù)f_n+1（x）=f_n（x）+在（0，1）
單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增；值域?yàn)閇2（n+1）+1，+∞）．
所以由①、②可得結(jié)論成立．
結(jié)論四及結(jié)論五的證明，可以先求和，后用定義進(jìn)行證明，即：，
f_n（x₂）-f_n（x₁）=，容易獲得結(jié)論的證明．
解法及評(píng)分說明：結(jié)論分3分，證明正確得3分，共6分；
第三類問題
結(jié)論六：當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，在（-1，0），（0，1）
單調(diào)遞減，在（-∞，-1），（1，+∞）單調(diào)遞增；值域?yàn)椋?∞，-1]∪[2n+1，+∞）；
結(jié)論七：當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)單調(diào)遞增區(qū)間為（-1，0），（1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，-1），（0，1）
；值域?yàn)閇1，+∞）；
結(jié)論八：當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，在（-1，0），（0，1）單調(diào)遞減，在（-∞，-1），（1，+∞）單調(diào)遞增；值域?yàn)椋?∞，-1]∪[2n+1，+∞）；
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)單調(diào)遞增區(qū)間為（-1，0），（1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，-1），（0，1）；值域?yàn)閇1，+∞）；
解法及評(píng)分說明：解法與第二類問題類同．結(jié)論分4分，求解正確得4分，共8分．
點(diǎn)評(píng)：本題是開放性問題，通過研究基本函數(shù)的單調(diào)性，類比到其它的情況，考查分類討論的思想，函數(shù)的單調(diào)性的基本證明方法，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，數(shù)列求和的應(yīng)用，難度大，綜合性強(qiáng)，多作為壓軸題目，競賽試題出現(xiàn)．